counting题解

$N,M\le 1e7$

接着反射容斥，考虑这道题怎么做

如果去枚举不动步数，加上反射容斥，直接T飞了

把-1/0/1操作转换一下，就成了0/1/2

如果没有限制（不能<0或>m），n步方案就是$(1+x+x^2{)}^n$

设$H=1+x+x^{2}F=H^n$

那么对两边求导：

$$n{H}^{n-1}{H}^{\prime }=F^{\prime }$$

$$F^{\prime }H=nF{H}^{\prime }$$

我们知道

$$H=1+x+x^2,H^{\prime }=1+2x$$

$$[x^i]F^{\prime }=[x^{i+1}]F\ast (i+1)$$

所以：

$$\begin{array}{rl}(F^{\prime }H)& =[x^i]F^{\prime }+[x^{i-1}]F^{\prime }+[x^{i-2}]F^{\prime }\\ & =(i+1)[x^{i+1}]F+i[x^i]F+(i-1)[x^{i-1}]F\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}n[x^i]F{H}^{\prime }=n[x^i]F+2n[x^{i-1}]F& =(i+1)[x^{i+1}]F+i[x^i]F+(i-1)[x^{i-1}]F\\ [x^{i+1}]F& =\frac{(n-i)[x^i]F+(2n-i+1)[x^{i-1}]F}{i+1}\\ & =\frac{n+1}{i+1}([x^i]F+2[x^{i-1}]F)-[x^i]F-[x^{i-1}]F\end{array}$$

就可以直接递推得出系数了

反射容斥已经说过了

时间复杂度: $O(n)$