反射容斥

故事的起因是模拟赛遇到了一道题：

$N,M\le 1e7$

赛时想到了其实可以去枚举原地不动的步数，然后catalan去计算方案数，但是有一个问题，就是这个限制：这个过程不能走出格子

这就相当于说我有一个栈，大小为m，要放入i个数，2*i次操作每次选择放入和拿出的方案数，但是栈不能取空，同时也不能爆栈

赛后才知道，这是经典容斥，叫做反射容斥

我们知道catalan的求法，把第一次越过y=x，即碰到y=x+1的这条直线的路径后面部分翻折，所以这样的路径的终点都会结束在一点上，所以所有不合法直线的条数，是可以看作是从起点到某点（对称过去的）路径的方案数

但是现在我们相当于有两条线，有一个朴素的容斥思想：

全部的路径条数-碰到第一条线的路径条数-碰到第二条线的路径条数+同时碰到第一第二条线的路径个数

可是如何算最后一项是个难题，因为这条路径可能先碰一下第一条线，再碰一下第二条线如此往复。。。

我们将每条路径按照某种标准分类，体现为依次碰到两条线的顺序及次数，每碰到第一条线记一个A，第二条线记一个B，如ABABAB

多次重复碰一条线只记第一次，如AAAAA=A

因为我们知道，从第一次碰到的地方翻折，已经所有非法直线汇聚一点，不需要更多的分类标准了

那么我们就可以像普通容斥一样

$\varnothing -(A{)}_{num}-(B{)}_{num}+(AB{)}_{num}+(BA{)}_{num}....$

如何去算 $strin{g}_{num}$ 就成了首要问题

我们可以算出一个string后终点落点，每次对称都将目前终点按直线对称，然后就直接算两点间路径条数即可

如果落点落到了n步都走不到的地方，就不用继续递归下去了，因为落点对称只会越来越远

所以两条直线相距越远，递归越快，大概是 $O(n/len)$ len为直线间距离