论随机数据区间长度和的期望

先给出结论，在 $n$ 足够大时，期望近似于 $\frac{n}{3}$

纯数学推导

$$2\ast \frac{\sum _{l=1}^n\sum _{r=l}^n(r-l+1)}{n\ast n}$$

先抛开2和分母

$$\sum _{l=1}^n\sum _{r=l}^n(r-l+1)$$

$$\sum _{l=1}^n\sum _{r=l}^{n}r-\sum _{l=1}^n\sum _{r=l}^{n}l+\sum _{l=1}^n\sum _{r=l}^{n}1$$

$$\sum _{i=1}^n{i}^2-\sum _{i=1}^{n}i\ast (n-i+1)+\frac{n(n+1)}{2}$$

$$2\ast \sum _{i=1}^n{i}^2-\sum _{i=1}^{n}i\ast n$$

$$\frac{n(n+1)(2n+1)}{3}-\frac{n^2(n+1)}{2}$$

整体乘6，拆开

$$4n^3+6n^2+2n-2n^3-3n^2\to n^3+3n^2+2n\to n(n+2)(n+1)$$

代回原柿

$$2\ast \frac{n(n+2)(n+1)}{6n^2}$$

最终得到

$$\frac{(n+2)(n+1)}{3n}$$

但是还没有结束，注意到随机时事先有2个端点再算，刚才乘2把l==r的贡献算了两遍

减去即可

最终得到

$$\frac{(n+2)(n+1)}{3n}-\frac{1}{n}$$