8.2 day10图论+dp

100+70+70+20=260

感觉如果时间够感觉还能写一下，结果T3超大数据结构写死了

T1

观察到最短路径仍然最优，直接dij即可，注意判断终点不用等红灯

T2

暴力是$O(n^4)$的，是dp，但是我写的是分层图，同样时间，还没有优化空间，寄

设计$d{p}_{i,j}$为跳到$(i,j)$所需最小花费

每次从所有点转移，算曼哈顿距离

$$d{p}_{i,j}=min(d{p}_{i^{\prime },j^{\prime }})+|i-i^{\prime }|+|j-j^{\prime }|$$

假如从左上角转移，柿子就可以写成

$$d{p}_{i,j}=min(d{p}_{i^{\prime },j^{\prime }}-i^{\prime }-j^{\prime })+i+j$$

发现可拆，直接分层扫描x轴维护上述柿子即可

正着扫一遍处理第3，4象限

反着扫一遍处理第1，2象限

时间复杂度:$O(n^2\log n)$

T3

考场写出来了树上莫队，但是维护丑了，用了bitset，复杂度多一个$\frac{n}{w}$，没有这部分的部分分，沦为暴力70分

树上莫队不用说，维护询问，主要的是如何维护curans，我们插入一个数，最多3个质因数，我们可以想到一个简单的容斥去计算curans的增量：加上与自己没有重叠质因数的数，减去与自己至少有一个质因数重叠的数，加上至少与自己有两个质因数重叠的数......

依此，我们去枚举x的质因数的组合，并开一个桶记录全局质因数组合的个数，就可以做到上述效果，就不用bitset了

时间复杂度:$O(q\sqrt{n})$

T4

对于树上相邻的两个点，他们的M值的绝对值差$\le 1$，不然不是合法情况，没有合法解，感性理解一下：从$i$走向相邻点$j$时，总是只会拉开u1，u2，u3大小为1的距离

为了准确定位3个点中点，我们将每两个点之间再插入一个点，此时原本M值翻倍，此时假设我们插入的点为x，相邻点为u和v，我们要去计算$M_x$，相邻点只会有两种情况：

1.$|M_i-M_j|=0\to M_i=M_j$

此时说明x是$u_i$和$u_j$的中点$(i\ne j)$

由于我们开篇讲到的性质，$M_x$与$M_i$要相差1,考虑枚举 $M_x=M_i\pm 1$

由于这样的点只会有最多3个（u之间两两有一个），所以是$2^3$(常数)

2.$|M_i-M_j|=2$

此时$M_x$就是$\frac{|M_i-M_j|}{2}$

讨论完两种情况，代表着我们能在$O(2^3)$以内得知所有点的M值

如果我们将一条边按M值从大指向小定向，那么整体流动的方向则是三个点中点的方向，最后汇聚在3个点的中点，不妨，我们假设$d_i$为$u_i$到中点$u$的距离,因为无序，同时假设$d_1\le d_2\le d_3$

观察得知，这里也可以分两种情况讨论：

1.$d_1=d_2\le d_3$

此时1，3中点同时也是2，3中点，那么可能有一个疑问，为什么3个点的中点不是图中蓝色的位置呢，考虑我们求得是中位数，在蓝色位置时，到三个点dis相同是 (d,d,d)，但是我们向着1，2走一步，就成了(d-1,d-1,d+1)，中位数实际上减小

我们如何去求方案数呢，我们知道此时

$$d3\ge d1=d2=M_u$$

三个点分别在以u为根不同子树内，首先dep不足d1的先排除，设计$d{p}_{i,0/1/2,0/1}$表示此时处理到第i棵子树，分配了0/1/2个u1，u2，0/1个u3，线性时间内可求

2.$d1<d2\le d3$

此时看上去比较复杂，但是如果按照上文的方法分析，很快就能定向出来

考虑求方案

我们已经得知两个汇点的位置，所以他们之间距离已知，假设为 $dist$

此时 $u_1$ 距离 $M_1$ 的距离为 $M_1$ ，距离 $M_2$ 的距离为 $M_2$ ，我们会发现，这两个限制把 $u_1$ 的范围死死限制住了，不会使他跑到 $u_3$ 或者 $u_2$ 子树去，再看 $u_2$ ，到 $M_1$ 距离为 $M-1$ ，到 $M_2$ 距离为 $dist+M_1$ ，也把 $u_2$ 限制住了， $u_3$ 则同理

统计也非常简单，以 $M_1$ ，$M_2$ 分别为中心dfs标记距离

这样我们就在 $O(n)$ 的时间内解决了题目