【bzoj2142】【礼物】拓展Lucas定理+孙子定理

（上不了p站我要死了，侵权度娘背锅）

Description

一年一度的圣诞节快要来到了。每年的圣诞节小E都会收到许多礼物，当然他也会送出许多礼物。不同的人物在小E
心目中的重要性不同，在小E心中分量越重的人，收到的礼物会越多。小E从商店中购买了n件礼物，打算送给m个人
，其中送给第i个人礼物数量为wi。请你帮忙计算出送礼物的方案数（两个方案被认为是不同的，当且仅当存在某
个人在这两种方案中收到的礼物不同）。由于方案数可能会很大，你只需要输出模P后的结果。

Input

输入的第一行包含一个正整数P，表示模；
第二行包含两个整整数n和m，分别表示小E从商店购买的礼物数和接受礼物的人数；
以下m行每行仅包含一个正整数wi，表示小E要送给第i个人的礼物数量。

Output

若不存在可行方案，则输出“Impossible”，否则输出一个整数，表示模P后的方案数。

Sample Input

100
4 2
1
2

Sample Output

12
【样例说明】
下面是对样例1的说明。
以“/”分割，“/”前后分别表示送给第一个人和第二个人的礼物编号。12种方案详情如下：
1/23 1/24 1/34
2/13 2/14 2/34
3/12 3/14 3/24
4/12 4/13 4/23
【数据规模和约定】
设P=p1^c1 * p2^c2 * p3^c3 * … *pt ^ ct，pi为质数。
对于100%的数据，1≤n≤109，1≤m≤5，1≤pi^ci≤10^5。

公式是很好想的，设sum=sigma(wi)，则答案为C(n,sum) * C(sum,w1) * C(sum-w1,w2) * … * C(wi,wi)

但是考虑到数据范围，需要用Lucas定理，但是模数确实一个合数，怎么办呢？于是就去学了拓展Lucas定理。

1、
模数为合数，但可以唯一分解成多个质数的乘积。即M=p1^c1 * p2^c2 * … * pi^ci。分解出来的pi^ci与其他的因数互质，所以可以对每一个pi^ci求出组合数的值，再用孙子定理合并。

2、
现在问题转化为了如何求解C(n,m) mod pi^ci
首先C(n,m)可以写成阶乘形式：n!/(m!*(n-m)!) mod pi^ci
我们发现如果阶乘n!中的n大于pi^ci的话，模下来就是0，没有意义了。所以不能直接用阶乘+逆元来求解。考虑如果能将n!中的所有pi提出来，即将n!分解为 x*pi^ki，这样x部分就和pi^ci完全互质，就可以用逆元来求了。

3、
问题再转化，如何将 n! 分解为 x * pi^ki，即求出x与ki
举个例子：20! mod 3^2
20!=1*2*3*4*…*19*20
将3的倍数提取出来
= 1*2*4*…* 17*19*20*(3*6*9..*18)
=1*2*4*… * 17*19*20* 3^6 * (1*2*3..*6)
发现括号里的数又是阶乘，且恰好是[n/p]（向下取整），所以递归调用即可。
对于前面的数：发现是以pi^ci为循环节同余的方程，即(1*2*…pi^ci-1)≡((pi^ci +1)*…(2*pi^ci)) (mod pi^ci)，其中要去掉pi的倍数。这一部分就暴力算出循环节，快速幂。对于循环节之外可能有的数，也是直接暴力算即可。易证循环节长度和剩余部分长度是小于等于pi^ci的。

 1 void get(ll a,ll i,ll &x,ll &k){
 2     ll tmp=1;
 3     if(a==0) return ;
 4     for(int j=1;j<=min(pic[i],a);j++){
 5         if(j%pi[i]==0) continue;
 6         tmp=tmp*j%pic[i];
 7     }
 8     x=x*power(tmp,a/pic[i],pic[i])%pic[i];
 9     for(int j=pic[i]*(a/pic[i])+1;j<=a;j++){
10         if(j%pi[i]==0) continue;
11         x=x*j%pic[i];
12     }
13     k+=a/pi[i];
14     get(a/pi[i],i,x,k);
15 }

View Code

所以现在问题就很清晰啦
拓展Lucas也没有想象中这么难嘛

  1 #include<cstdio>
  2 #include<cstring>
  3 #include<algorithm>
  4 using namespace std;
  5 #define ll long long 
  6 #ifdef WIN32
  7 #define RIN "%I64d"
  8 #else
  9 #define RIN "%lld"
 10 #endif
 11 
 12 template <typename T>inline void read(T &res){
 13     T k=1,x=0;char ch=0;
 14     while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')k=-1;ch=getchar();}
 15     while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
 16     res=k*x;
 17 }
 18 
 19 const int N=100000+5;
 20 
 21 ll p,n,m,w[6],sum=0;
 22 ll prime[N],cntp=0;
 23 bool notp[N];
 24 ll pi[N],pic[N],pik[N],cntc=0;
 25 
 26 void init(){
 27     notp[1]=1;
 28     for(int i=1;i<=100000;i++){
 29         if(!notp[i])
 30             prime[++cntp]=i;
 31         for(int j=1;j<=cntp&&i*prime[j]<=100000;j++){
 32             notp[i*prime[j]]=1;
 33             if(i%prime[j]==0) break;
 34         }
 35     }
 36 }
 37 void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
 38     if(b==0){
 39         x=1,y=0;return;
 40     }
 41     ll x0,y0;
 42     exgcd(b,a%b,x0,y0);
 43     x=y0;
 44     y=x0-(a/b)*y0;
 45 }
 46 ll inverse(ll a,ll mod){
 47     ll x,y;
 48     exgcd(a,mod,x,y);
 49     return (x%mod+mod)%mod;
 50 }
 51 ll power(ll a,ll b,ll mod){
 52     ll rt=1;
 53     for(;b;b>>=1,a=a*a%mod) if(b&1) rt=rt*a%mod;
 54     return rt;
 55 }
 56 void get(ll a,ll i,ll &x,ll &k){
 57     ll tmp=1;
 58     if(a==0) return ;
 59     for(int j=1;j<=min(pic[i],a);j++){
 60         if(j%pi[i]==0) continue;
 61         tmp=tmp*j%pic[i];
 62     }
 63     x=x*power(tmp,a/pic[i],pic[i])%pic[i];
 64     for(int j=pic[i]*(a/pic[i])+1;j<=a;j++){
 65         if(j%pi[i]==0) continue;
 66         x=x*j%pic[i];
 67     }
 68     k+=a/pi[i];
 69     get(a/pi[i],i,x,k);
 70 }
 71 ll get_C(ll x,ll y,ll i){
 72     ll x1=1,p1=0,x2=1,p2=0,x3=1,p3=0;
 73     get(x,i,x1,p1);
 74     get(y,i,x2,p2);
 75     get(x-y,i,x3,p3);
 76     ll rt=1;
 77     rt=x1*inverse(x2,pic[i])%pic[i]*inverse(x3,pic[i])%pic[i];
 78     rt=rt*power(pi[i],p1-p2-p3,pic[i])%pic[i];
 79     return rt;
 80 }
 81 ll C(ll x,ll y){
 82     ll a;
 83     ll rt=0;
 84     for(int i=1;i<=cntc;i++){
 85         a=get_C(x,y,i);
 86         rt=(rt+a*(p/pic[i])%p*inverse(p/pic[i],pic[i])%p)%p;
 87     }
 88     return rt;
 89 }
 90 void fenjie_p(){
 91     ll tmp=p;
 92     for(int i=1;i<=cntp&&tmp!=1;i++){
 93         if(tmp%prime[i]!=0) continue;
 94         pi[++cntc]=prime[i];
 95         pic[cntc]=1,pik[cntc]=0;
 96         while(tmp%prime[i]==0){
 97             pic[cntc]*=prime[i];
 98             pik[cntc]++;
 99             tmp/=prime[i];
100         }
101     }
102 }
103 int main(){
104     init();
105     read(p),read(n),read(m);
106     for(int i=1;i<=m;i++) read(w[i]),sum+=w[i];
107     if(sum>n){
108         printf("Impossible\n");
109         return 0;
110     }
111     ll ans=1;
112     fenjie_p();
113     ans=ans*C(n,sum)%p;
114     for(int i=1;i<=m;i++){
115         ans=ans*C(sum,w[i])%p;
116         sum-=w[i];
117     }
118     printf(RIN"\n",ans);
119     return 0;
120 }