manacher（马拉车）算法详解+例题一道【bzoj3790】【神奇项链】

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（CSDN好像有bug，不知道为什么存的草稿覆盖了之前的博客>.<，以后再也不存线上草稿了）

昨天学了马拉车（manacher）算法，今天做了一道例题。虽然并不难，但还是写一写博客，即为民服务，又加深自己的理解。

manacher是高效处理回文串的算法，不过因为只限求回文串，所以适用范围就窄了，但是它仍然有用，所以还是要学。

首先是一个小小的处理技巧。因为回文串可能是奇数可能是偶数，偶数的时候就没有中心字符了，没有著脚点可恼火了。所以我们考虑用没有出现过的字符“#”来表示原串的间隔。eg。ababa->#a#b#a#b#a#。为了避免溢出，访问到不存在的点（’\0’=’\0’），我们再在首尾加上没有出现过的不同字符，eg’+’，’-‘。显然，现在对新串的每一个字符找以此字符为中心的字符串即可。

manacher的思想就是从左到右求出以每个位置为中心的最长字符串（由于回文串很明显的包含和对称性质，以同一位置为中心的字符串自然是包含在最长回文串里），利用回文串的对称性质，对每一个位置利用之前的信息来快速得到答案。近似于扫一遍，所以均摊o(n)（之后详细证明）

那么之前的信息是什么呢？我们记向右延伸最远的回文串（有多个的话，选中心点最靠左的），令其右端点为mx，中心点的下标为id。我们需要处理数组pal[i]，表示以i为中心的回文串的右端到i的长度。

下面就是怎么实现的问题了。
对于一个位置i，有三种情况
1、i<=mx，我们可以由对称性得出其关于id的对称点的pal[]

此时易得pal[i]=pal[2*id-i];
2、同样的情况，i<=mx，但是其对应点的范围超出了id的范围。

此时可得pal[i]>=mx-i+1;
由对称性可得，在id范围内的部分i可由2*id-i推来，但外面的部分必定与另一边不同（想想），暴力扩充即可，将mx更新。暴力判断pal[i]能到多少，每次判断成功都等价于mx++，失败则结束。由于mx是单增的，于是判断成功的次数不超过串长次，均摊o（n）
3、i>mx。处理方法与2相同。

放个代码更好理解

void manacher(){
    int mx=0,id;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        if(mx>=i) pal[i]=min(mx-i+1,pal[2*id-i]);
        else pal[i]=1;
        while(s[i-pal[i]]==s[i+pal[i]]) pal[i]++;
        if(i+pal[[i]-1>mx)
            mx=i+pal[i]-1,id=i;
        }
    }
}

由代码可以也可以看出，mx是单增的，均摊o(n)

此外，manacher算法还引出了一个——

极重要的性质

再来看这张图，我们发现，如果mx不更新，就不会出现本质不同的回文子串，因为前面已经出现过了；而每扩展一次mx，最多新出现一个本质不同的回文子串。
于是得到性质：#一个字符串最多只有n个本质不同的回文子串#。这个性质很重要，有些题会用到，需要这个性质去分析。

基础讲完了，终于可以放题了：D

Description
母亲节就要到了，小 H 准备送给她一个特殊的项链。这个项链可以看作一个用小写字
母组成的字符串，每个小写字母表示一种颜色。为了制作这个项链，小 H 购买了两个机器。第一个机器可以生成所有形式的回文串，第二个机器可以把两个回文串连接起来，而且第二个机器还有一个特殊的性质：假如一个字符串的后缀和一个字符串的前缀是完全相同的，那么可以将这个重复部分重叠。例如：aba和aca连接起来，可以生成串abaaca或 abaca。现在给出目标项链的样式，询问你需要使用第二个机器多少次才能生成这个特殊的项链。
Input
输入数据有多行，每行一个字符串，表示目标项链的样式。
Output
多行，每行一个答案表示最少需要使用第二个机器的次数。
Sample Input
abcdcba
abacada
abcdef
Sample Output
0
2
5
HINT
每个测试数据，输入不超过 5行
每行的字符串长度小于等于 50000

先用manacher跑出pal[ ]数组，因为题目说可以重合，于是就转换成了经典的区间覆盖问题，贪心即可。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N=50000+5;

int len,pal[N*2];
char s[N],a[N*2];
struct Node{
    int le,ri;
}qu[N*2];

bool cmp(Node a,Node b){
    return a.le<b.le;
}
void insert(){
    memset(a,0,sizeof(a));
    int lena=-1;
    a[++lena]='+';
    for(int i=0;i<len;i++){
        a[++lena]='#';
        a[++lena]=s[i];
    }
    a[++lena]='#';
    a[++lena]='-';
    len=lena-1;
}
void manacher(){
    int mx=0,id;
    for(int i=1;i<=len;i++){
        if(mx>=i) pal[i]=min(mx-i+1,pal[2*id-i]);
        else pal[i]=1;
        while(a[i-pal[i]]==a[i+pal[i]]) ++pal[i];
        if(mx<i+pal[i]-1)
            mx=i+pal[i]-1,id=i;
    }
}
int fugai(){
    int ans=0,far=1;
    int i=1;
    for(i=1;qu[i].le<=1;i++)
        if(qu[i].ri>qu[far].ri) far=i;
    while(i<=len){
        ans++;
        int tmp=far;
        for(;qu[i].le<=qu[far].ri;i++)
            if(qu[i].ri>qu[tmp].ri) tmp=i; 
        far=tmp;
    }
    return ans;
}
int main(){
    while(scanf("%s",s)!=EOF){
        len=strlen(s);
        insert();
        manacher();
        memset(qu,0,sizeof(qu));
        for(int i=1;i<=len;i++)
            qu[i].le=i-pal[i]+1,qu[i].ri=i+pal[i]-1；
        sort(qu+1,qu+len+1,cmp);
        printf("%d\n",fugai()-1);
    }
    return 0;
}