[数值分析]插值法😥

插值法

预备知识

我们希望通过插值去用易于计算的函数$p(x)$来近似一个复杂的函数$f(x)$，使得

$$f(x) \approx p(x)$$

这里的“近似”是指，$f(x)$和$p(x)$在$x$的某些点上的值相等，如$x_0, x_1, \cdots, x_n$，这些点称为插值点。我们希望$p(x)$在这些点上的值与$f(x)$的值相等，即

$$f(x_i) = p(x_i), \quad i = 0, 1, \cdots, n$$

其中，$x_i$称为插值节点，$p(x_i)=f(x_i)$称为插值条件。

什么是差商

$f(x)$在$x_i$处的零阶差商为

$$f[x_i] = f(x_i)$$

$f(x)$在$x_i$处的一阶差商为

$$f[x_i, x_{i+1}] = \frac{f(x_{i+1}) - f(x_i)}{x_{i+1} - x_i}$$

$f(x)$在$x_i$处的二阶差商为

$$f[x_i, x_{i+1}, x_{i+2}] = \frac{f[x_i, x_{i+1}] - f[x_{i+1}, x_{i+2}]}{x_{i+2} - x_i}$$

$x_i$	$f[x_i]$	$f[x_i, x_{i+1}]$	$f[x_i, x_{i+1}, x_{i+2}]$	$f[x_i, x_{i+1}, x_{i+2}, x_{i+3}]$
$x_0$	$f(x_0)$
$x_1$	$f(x_1)$	$f[x_0, x_1]$
$x_2$	$f(x_2)$	$f[x_1, x_2]$	$f[x_0, x_1, x_2]$
$x_3$	$f(x_3)$	$f[x_2, x_3]$	$f[x_1, x_2, x_3]$	$f[x_0, x_1, x_2, x_3]$

注：差商有个特性是和排列次序无关，例如$f[x_i, x_{i+1}] = f[x_{i+1}, x_i]$，下面展开一下；

$$\begin{aligned} f[x_i, x_{i+1}] &= \frac{f(x_{i+1}) - f(x_i)}{x_{i+1} - x_i} \\ &= \frac{f(x_i)}{x_i - x_{i+1}} + \frac{f(x_{i+1})}{x_{i+1} - x_i} \\ \end{aligned}$$

我们同样有$f[x_i, x_{i+1}, x_{i+2}] = f[x_{i+2}, x_{i+1}, x_i]$，下面展开一下；

$$\begin{aligned} f[x_i, x_{i+1}, x_{i+2}] &= \frac{f[x_i, x_{i+1}] - f[x_{i+1}, x_{i+2}]}{x_{i} - x_{i+2}} \\ &= \frac{\frac{f(x_{i+1}) - f(x_i)}{x_{i+1} - x_i} - \frac{f(x_{i+2}) - f(x_{i+1})}{x_{i+2} - x_{i+1}}}{x_{i} - x_{i+2}} \\ &= \frac{f(x_{i})}{(x_{i} - x_{i+1})(x_{i} - x_{i+2})} + \frac{f(x_{i+1})}{(x_{i+1} - x_{i})(x_{i+1} - x_{i+2})} + \frac{f(x_{i+2})}{(x_{i+2} - x_{i})(x_{i+2} - x_{i+1})} \\ \end{aligned}$$

从这个形式就可以看出来没有差商的排列次序是没有意义的。

不等距节点下的牛顿基本差商公式

由一阶差商的定义，我们可以得到

$$\begin{aligned} f[x_0,x] &= \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\\ f[x_1,x_0,x] &= \frac{f[x_1,x_0] - f[x_0,x]}{x_1 - x}\\ f[x_2,x_1,x_0,x] &= \frac{f[x_2,x_1,x_0] - f[x_1,x_0,x]}{x_2 - x}\\ f[x_3,x_2,x_1,x_0,x] &= \frac{f[x_3,x_2,x_1,x_0] - f[x_2,x_1,x_0,x]}{x_3 - x}\\ \vdots\\ f[x_n,x_{n-1},\cdots,x_0,x] &= \frac{f[x_n,x_{n-1},\cdots,x_0] - f[x_{n-1},\cdots,x_0,x]}{x_n - x}\\ \end{aligned}$$

这个式子可以写成(将上面依次展开，记住我们的目的我们希望表达出f(x))

$$\begin{aligned} f(x) &= f(x_0) + f[x_0,x](x - x_0)\\ (代入f[x_0,x] &= f[x_1,x_0] + f[x_1,x_0,x](x - x_1))\\ &= f(x_0) + f[x_1,x_0](x - x_0) + f[x_1,x_0,x](x - x_1)(x - x_0)\\ (代入f[x_1,x_0,x] &= f[x_2,x_1,x_0] + f[x_2,x_1,x_0,x](x - x_2))\\ &= f(x_0) + f[x_1,x_0](x - x_0) + f[x_2,x_1,x_0](x - x_1)(x - x_0) + f[x_2,x_1,x_0,x](x - x_2)(x - x_1)(x - x_0)\\ (代入f[x_2,x_1,x_0,x] &= f[x_3,x_2,x_1,x_0] + f[x_3,x_2,x_1,x_0,x](x - x_3))\\ \vdots\\ &= f(x_0) + f[x_1,x_0](x - x_0) + f[x_2,x_1,x_0](x - x_1)(x - x_0) + \cdots + f[x_n,x_{n-1},\cdots,x_0,x](x - x_n)(x - x_{n-1})\cdots(x - x_0)\\ &= \sum_{i=0}^n f[x_i,x_{i-1},\cdots,x_0]\prod_{j=0}^{i-1}(x - x_j) + f[x_n,x_{n-1},\cdots,x_0,x]\prod_{j=0}^n(x - x_j)\\ \end{aligned}$$

在上式中，我们令$P_n(x) = f[x_n,x_{n-1},\cdots,x_0]\prod_{j=0}^{i-1}(x - x_j)$,令$R_n(x) = f[x_n,x_{n-1},\cdots,x_0,x]\prod_{j=0}^n(x - x_j)$，那么我们有

$$\begin{aligned} f(x) &= P_n(x) + R_n(x)\\ \end{aligned}$$

其中$P_n(x)$称为牛顿基本差商公式，$R_n(x)$称为牛顿基本差商公式的余式。

由上面公式我们容易看出，当$x$取$x_0,x_1,\cdots,x_n$时，$R_n(x)$即为0，$P_n(x)$即为$f(x)$。

简单例子

已知$x=1,4,9$的平方根值，试求$\sqrt{7}$的值。

解：由上面的公式我们有差商表如下(差商可以在每一列居中)

$x_i$	$f(x_i)$	$f[x_i,x_{i+1}]$	$f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}]$
1	1
4	2	0.33333
9	3	0.2	-0.01667

则差商公式为

$$\begin{aligned} P_2(x) &= f[1] + f[1,4](x - 1) + f[1,4,9](x - 1)(x - 4) \\ &= 1 + 0.33333(x - 1) - 0.01667(x - 1)(x - 4) \\ \end{aligned}$$

代入$x=7$，则有$P_2(7) = 2.69992$ ，即$\sqrt{7} = 2.69992$。

f = lambda x : 1 + 0.33333*(x - 1) - 0.01667*(x - 1)*(x - 4)

f(7)

2.6999199999999997

余式估计

由拉格朗日中值定理容易证明，在$x_0,x_1,\cdots,x_n$上的存在$\xi$使得$f[x_0,x_1,\cdots,x_n] = \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}$，则有$f[x_n,x_{n-1},\cdots,x_0,x] = \frac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!}$

$$R_n(x) = f[x_n,x_{n-1},\cdots,x_0,x]\prod_{j=0}^n(x - x_j) = \frac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!}\prod_{j=0}^n(x - x_j)$$

对于上面的例子，我们有

$$\begin{aligned} f(x) = \sqrt{x} \\ f^{(1)}(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \\ f^{(2)}(x) = -\frac{1}{4x^{3/2}} \\ f^{(3)}(x) = \frac{3}{8x^{5/2}} \\ \end{aligned}$$

可知$f^{(3)}(x)$单调递减，则有$f^{(3)}(x) \leq f^{(3)}(1) = \frac{3}{8}$，则有

$$\begin{aligned} |R_2(x)| &\leq \frac{3}{8}|\prod_{j=0}^2(x - x_j)| \\ &= \frac{3}{8}|(x - 1)(x - 4)(x - 9)| \\ \end{aligned}$$

则有$|R_2(7)| \leq 13.5$，这显然不符合我们余式估计的要求，我们需要更多的值或者方法来估计余式。

3/8 * (7-1)*(7-4)*(7-9)

-13.5

事后估计误差法

在上面中我们选取的牛顿差商公式为$P_n(x)$，插值节点为$x_0,x_1,\cdots,x_n$，

$$\begin{aligned} P_n(x) &= \sum_{i=0}^n f[x_i,x_{i+1},\cdots,x_n]\prod_{j=0}^{i-1}(x - x_j) \\ R_n(x) &= f[x_n,x_{n-1},\cdots,x_0,x]\prod_{j=0}^n(x - x_j) \\ \end{aligned}$$

若我们选取的插值节点为$x_1,\cdots,x_{n + 1}$，则有

$$\begin{aligned} P_n^{(1)}(x) &= \sum_{i=1}^{n + 1} f[x_i,x_{i+1},\cdots,x_{n + 1}]\prod_{j=1}^{i-1}(x - x_j) \\ R_n^{(1)}(x) &= f[x_{n+1},x_n,\cdots,x_1,x]\prod_{j=1}^{n+1}(x - x_j) \\ \end{aligned}$$

则两个余式的比值为

$$\begin{aligned} \frac{R_n(x)}{R_n^{(1)}(x)} &= \frac{f[x_n,x_{n-1},\cdots,x_0,x]\prod_{j=0}^n(x - x_j)}{f[x_{n+1},x_n,\cdots,x_1,x]\prod_{j=1}^{n+1}(x - x_j)} &= \frac{f[x_n,x_{n-1},\cdots,x_0,x]}{f[x_{n+1},x_n,\cdots,x_1,x]} * \frac{\prod_{j=0}^n(x - x_j)}{\prod_{j=1}^{n+1}(x - x_j)} \\ &= \frac{f[x_n,x_{n-1},\cdots,x_0,x]}{f[x_{n+1},x_n,\cdots,x_1,x]} * \frac{x - x_0}{x - x_{n + 1}} \\ \end{aligned}$$

因为$f[x_n,x_{n-1},\cdots,x_0,x]$和$f[x_{n+1},x_n,\cdots,x_1,x]$都是关于$x$的高阶差商，我们这里认为它们的值是几乎相等的，再者我们有$R_n^{(1)}(x) = f(x) - P_n^{(1)}(x) = P_n(x) + R_n(x)- P_n^{(1)}(x)$，则有

$$\begin{aligned} \frac{R_n(x)}{R_n^{(1)}(x)} = \frac{R_n(x)}{R_n(x) + P_n(x) - P_n^{(1)}(x)} &= \frac{x - x_0}{x - x_{n + 1}}\\ \Rightarrow (x - x_0)R_n(x) + (x - x_0)(P_n(x) - P_n^{(1)}(x)) &= (x - x_{n + 1})R_n(x)\\ \Rightarrow (x_0 - x_{n + 1})R_n(x) &= (x - x_0)(P_n(x) - P_n^{(1)}(x))\\ \Rightarrow R_n(x) &= \frac{x - x_0}{x_0 - x_{n + 1}}(P_n(x) - P_n^{(1)}(x)) \\ \end{aligned}$$

简单例子2

已知$x_0 = 4, x_1 = 9, x_2 = 6.25, x_4 = 4.84$，求$\sqrt{7}$的值。

解：由于$x_0 = 4, x_1 = 9, x_2 = 6.25, x_4 = 4.84$，所以我们可以用牛顿插值公式求出$P_2(7)$，

差商表如下：

$x$	$f(x)$	$f[x_i,x_{i+1}]$	$f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}]$
4	2
9	3	0.2
6.25	2.5	0.18182	-0.00808
4.84	2.2	0.21277	-0.00744

$$\begin{aligned} P_2(7) &= 2 + 0.2(7 - 4) - 0.00808(7 - 4)(7 - 9) = 2.64848 \\ \end{aligned}$$

余式估计: 由$f(x) = \sqrt{x}$，我们有$f^{(3)}(x) = \frac{3}{8}x^{-\frac{5}{2}}$，在区间$[4,9]$上，$f^{(3)}(x)$的最大值为$\frac{3}{8}4^{-\frac{5}{2}} = 0.01171875$，所以有

$$\begin{aligned} R_2(7) &= f[4,9,6.25](7 - 4)(7 - 9)(7 - 6.25) \\ &= \frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}(7 - 4)(7 - 9)(7 - 6.25) \\ &\leq \frac{0.01171875}{6}(7 - 4)(7 - 9)(7 - 6.25) \\ &= -0.0087890625 \\ \end{aligned}$$

事后估计法：

$$\begin{aligned} P_2^{(1)}(7) &= 3 + 0.18182(7 - 9) + 0.00744(7 - 9)(7 - 6.25) = 2.64752 \\ R_2(7) &= \frac{7 - 4}{4 - 4.84} * (P_2(7) - P_2^{(1)}(7)) = -0.00343 \\ \end{aligned}$$

由事后估计法得到的余式近似$0.5*10^{-2}$，$P_2(7)$的值可舍入为$2.65$，所以$\sqrt{7} \approx 2.65$。

差分

在不等距节点的基础上我们特殊化，假如$x_0, x_1, \cdots, x_n$是等距的，即$x_i - x_{i - 1} = h$，则称为等距节点，其每一个节点对应的值为$y_0, y_1, \cdots, y_n$，我们称为差分，记为$y_i = f(x_i)$，则称

$$\begin{aligned} \Delta y_{i-1} = y_i - y_{i - 1} &= f(x_i) - f(x_{i - 1}) \text{\quad(1)} \\ \text{(1)称为一阶差分，例如}\Delta y_0 &= y_1 - y_0 \\ \Delta^2 y_{i-2} = \Delta y_{i-1} - \Delta y_{i-2} &= f(x_i) - 2f(x_{i - 1}) + f(x_{i - 2}) \text{\quad(2)} \\ \text{(2)称为二阶差分，例如}\Delta^2 y_0 &= \Delta y_1 - \Delta y_0 \\ \Delta^3 y_{i-3} = \Delta^2 y_{i-2} - \Delta^2 y_{i-3} &= f(x_i) - 3f(x_{i - 1}) + 3f(x_{i - 2}) - f(x_{i - 3}) \text{\quad(3)} \\ \text{(3)称为三阶差分，例如}\Delta^3 y_0 &= \Delta^2 y_1 - \Delta^2 y_0 \\ \end{aligned}$$

注：其系数我们发现其实和二项式展开式很相像的，我们不妨写一下二项式展开式来对比

$$\begin{bmatrix} (a-b)^1 = a - b &\rightarrow &\Delta y_{i-1} = f(x_i) - f(x_{i - 1}) \\ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 &\rightarrow &\Delta^2 y_{i-2} = f(x_i) - 2f(x_{i - 1}) + f(x_{i - 2}) \\ (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 &\rightarrow &\Delta^3 y_{i-3} = f(x_i) - 3f(x_{i - 1}) + 3f(x_{i - 2}) - f(x_{i - 3}) \\ \end{bmatrix}$$

则我们可以得到$x_i = x_0 + ih$，$y_i = f(x_0 + ih)$，则有（用差分表示差商）

$$\begin{aligned} f[x_0,x_1] &= \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} = \frac{y_1 - y_0}{h} = \frac{\Delta y_0}{h} \\ f[x_0,x_1,x_2] &= \frac{f[x_1,x_2] - f[x_0,x_1]}{x_2 - x_0} = \frac{\Delta y_1 - \Delta y_0}{2h} = \frac{\Delta^2 y_0}{2h^2} \\ f[x_0,x_1,x_2,x_3] &= \frac{f[x_1,x_2,x_3] - f[x_0,x_1,x_2]}{x_3 - x_0} = \frac{\Delta^2 y_1 - \Delta^2 y_0}{3h} = \frac{\Delta^3 y_0}{6h^3} \\ \vdots \\ f[x_0,x_1,\cdots,x_n] &= \frac{f[x_1,x_2,\cdots,x_n] - f[x_0,x_1,\cdots,x_{n-1}]}{x_n - x_0} = \frac{\Delta^{n} y_0}{n!h^n} \\ \end{aligned}$$

牛顿基本差商公式为：

$$\begin{aligned} f(x) &= P_n(x) + R_n(x) \\ P_n(x) &= \sum_{i=0}^n f[x_0,x_1,\cdots,x_i] \prod_{j=0}^{i-1} (x - x_j) \\ R_n(x) &= f[x_0,x_1,\cdots,x_n,x] \prod_{j=0}^{n} (x - x_j) \\ \end{aligned}$$

用差分代替差商，我们得到牛顿前向插值公式：

$$\begin{aligned} P_n(x) &= y_0 + \frac{\Delta y_0}{h} (x - x_0) + \frac{\Delta^2 y_0}{2h^2} (x - x_0)(x - x_1) + \frac{\Delta^3 y_0}{6h^3} (x - x_0)(x - x_1)(x - x_2) + \cdots + \frac{\Delta^{n} y_0}{n!h^n} (x - x_0)(x - x_1)\cdots(x - x_{n-1}) \\ &= y_0 + \sum_{i=1}^n \frac{\Delta^i y_0}{i!h^i} \prod_{j=0}^{i-1} (x - x_j) \\ \end{aligned}$$

令$t = \frac{x - x_0}{h}$，则有

$$\begin{aligned} P_n(x) &= y_0 + \Delta y_0 t + \frac{\Delta^2 y_0}{2} t(t - 1) + \frac{\Delta^3 y_0}{6} t(t - 1)(t - 2) + \cdots + \frac{\Delta^{n} y_0}{n!} t(t - 1)\cdots(t - n + 1) \\ &= y_0 + \sum_{i=1}^n \frac{\Delta^i y_0}{i!} t(t - 1)\cdots(t - i + 1) \\ &= y_0 + c_t^1 \Delta y_0 + c_t^2 \Delta^2 y_0 + c_t^3 \Delta^3 y_0 + \cdots + c_t^n \Delta^n y_0 \\ \end{aligned}$$

其中$c_t^i = \frac{t(t - 1)\cdots(t - i + 1)}{i!}$，称为牛顿基本差商的系数。

牛顿前向插值公式的余项为

$$\begin{aligned} R_n(x) &= f[x_0,x_1,\cdots,x_n,x] \prod_{j=0}^{n} (x - x_j) \\ &= f[x_0,x_1,\cdots,x_n,x] \prod_{j=0}^{n} (x - x_0 - jh) \\ &= \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} h^{n+1} \prod_{j=0}^{n} (t - j) \\ \end{aligned}$$

同理由差商表最后一行可得牛顿后向插值公式：

$$\begin{aligned} P_n(x) &= y_n + \frac{\Delta y_{n-1}}{h} (x - x_n) + \frac{\Delta^2 y_{n-2}}{2h^2} (x - x_n)(x - x_{n-1}) + \frac{\Delta^3 y_{n-3}}{6h^3} (x - x_n)(x - x_{n-1})(x - x_{n-2}) + \cdots + \frac{\Delta^{n} y_0}{n!h^n} (x - x_n)(x - x_{n-1})\cdots(x - x_{1}) \\ &= y_n + \sum_{i=1}^n \frac{\Delta^i y_{n-i}}{i!h^i} \prod_{j=0}^{i-1} (x - x_{n-j}) \\ \end{aligned}$$

令$t = \frac{x - x_n}{h}$，则有

$$\begin{aligned} P_n(x) &= y_n + \Delta y_{n-1} t + \frac{\Delta^2 y_{n-2}}{2} t(t + 1) + \frac{\Delta^3 y_{n-3}}{6} t(t + 1)(t + 2) + \cdots + \frac{\Delta^{n} y_0}{n!} t(t + 1)\cdots(t + n - 1) \\ &= y_n + \sum_{i=1}^n \frac{\Delta^i y_{n-i}}{i!} t(t + 1)\cdots(t + i - 1) \\ &= y_n + c_t^1 \Delta y_{n-1} + c_{t+1}^2 \Delta^2 y_{n-2} + c_{t+2}^3 \Delta^3 y_{n-3} + \cdots + c_{t+n-1}^n \Delta^n y_0 \\ \end{aligned}$$

其中$c_t^i$与上面的相同（课件中明显写错了）。

牛顿后向插值公式的余项为

$$\begin{aligned} R_n(x) &= f[x_0,x_1,\cdots,x_n,x] \prod_{j=0}^{n} (x - x_j) \quad\text{注意到这里是从后往前减的}x_j = x_n - jh \\ &= f[x_0,x_1,\cdots,x_n,x] \prod_{j=0}^{n} (x - x_n + jh) \\ &= \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} h^{n+1} \prod_{j=0}^{n} (t + j) \\ \end{aligned}$$

斯梯林插值公式

斯梯林插值公式是牛顿插值公式的一种推广，它的基本思想是将插值点分成两组，分别用牛顿插值公式求出两组的插值多项式，然后将两个多项式相加得到斯梯林插值公式。

这里认为只要记住下面两幅图即可，推导过程略；

不等距节点下的拉格朗日插值公式

推导

在上面知识的基础上，我们设$x$为$x_0, x_1, \cdots, x_n$这个插值区间中的任意一个点，则有

由上面证明顺序性的类似结论，我们可以得到

$$\begin{aligned} f[x_0,x] & = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \frac{f(x_0)}{x_0 - x} + \frac{f(x)}{x - x_0} \\ f[x_0,x_1,x] & = \frac{f(x_0)}{(x_0 - x_1)(x_0 - x)} + \frac{f(x_1)}{(x_1 - x_0)(x_1 - x)} + \frac{f(x)}{(x - x_0)(x - x_1)} \\ f[x_0,x_1,x_2,x] & = \frac{f(x_0)}{(x_0 - x_1)(x_0 - x_2)(x_0 - x)} + \frac{f(x_1)}{(x_1 - x_0)(x_1 - x_2)(x_1 - x)} + \frac{f(x_2)}{(x_2 - x_0)(x_2 - x_1)(x_2 - x)} + \frac{f(x)}{(x - x_0)(x - x_1)(x - x_2)} \\ f[x_0,x_1,\cdots,x_n,x] & = \sum_{i=0}^n \frac{f(x_i)}{(x_i - x)\prod_{j=0, j \neq i}^n (x_i - x_j)} + \frac{f(x)}{\prod_{j=0}^n (x - x_j)} \\ \end{aligned}$$

我们将上式同乘以$(x - x_0)(x - x_1)\cdots(x - x_n)$，（即$\prod_{j=0}^n (x - x_j)$），则有

$$\begin{aligned} f[x_0,x_1,\cdots,x_n,x]\prod_{j=0}^n (x - x_j) & = \sum_{i=0}^n \frac{f(x_i)*\prod_{j=0}^n (x - x_j)}{(x_i - x)\prod_{j=0, j \neq i}^n (x_i - x_j)} + f(x) \end{aligned}$$

移项一下我们有

$$\begin{aligned} f(x) &= -\sum_{i=0}^n \frac{f(x_i)*\prod_{j=0}^n (x - x_j)}{(x_i - x)\prod_{j=0, j \neq i}^n (x_i - x_j)} + f[x_0,x_1,\cdots,x_n,x]\prod_{j=0}^n (x - x_j) \\ &= \sum_{i=0}^n \frac{f(x_i)*\prod_{j=0, j \neq i}^n (x - x_j)}{\prod_{j=0, j \neq i}^n (x_i - x_j)} + f[x_0,x_1,\cdots,x_n,x]\prod_{j=0}^n (x - x_j) \\ \end{aligned}$$

在上式中，我们令$L_n(x) = \sum_{i=0}^n \frac{\prod_{j=0, j \neq i}^n (x - x_j)}{\prod_{j=0, j \neq i}^n (x_i - x_j)}f(x_i)$, $R_n(x) = f[x_0,x_1,\cdots,x_n,x]\prod_{j=0}^n (x - x_j)$，则有

$$\begin{aligned} f(x) &= L_n(x) + R_n(x) \\ \end{aligned}$$

其中的$L_n(x)$称为拉格朗日插值公式，$R_n(x)$就是其余项。

其它还有诸如下面的一些插值方法，课本上的写的也很详细，这里就不再赘述了。（主要是好多式子！！！）

• 等距节点下的拉格朗日插值公式
• 反向插值
• 埃尔米特插值
• 多元函数的插值