编程之美 4.9数独知多少

问题：一共有多少种不同的数独解答呢？其中有多少种是独立的解答呢？

如果用一个字符串来表示各种数独，如何保证一一对应的基础上，让字符串的长度最短？

分析：

首先要明确问题，独立的解答到底是什么？如何定义“独立”这种关系？

如果任意交换数独的两个数字，仍然是一个合法的数独。

那么我们可以定义：如果两个数独解答可以通过这种交换得到，则它们就不是独立的。

假设不考虑独立的情况下，一个空的数独有N个解答，那么独立的解答应该为 N/( 9! )。

问题一解题思路：一种用探索（heuristic）的方法估计解答总数

原理：将数独划分为9块，B1、B2….B8、B9

块行解：一个解使得“块行”内每行每块恰好包含1到9

块列解：一个解使得“块列”内每列每块恰好包含1到9

标准型：

1	2	3
4	5	6
7	8	9

下面讨论基于B1为标准型的“块行解”，假设有N个，则“块行解”总共有9！*N个。

以下的B2和B3第一行由B1的第二或第三行构成称为“纯粹型”

1	2	3	{4	5	6}	{7	8	9}
4	5	6	{7	8	9}	{1	2	3}
7	8	9	{1	2	3}	{4	5	6}

每一行的3个元素可以任意互换（（3！）^6），可以任意放入6行中的一行，并且B2和B3位置可以交换。

所以共有“纯粹型”：2*（3！）^6。

以下的B2和B3第一行由B1的第二或第三行混合构成称为“混合型”

1	2	3	{4	5	7}	{6	8	9}
4	5	6	{8	9	4}	{7	b	c}
7	8	9	{6	b	c}	{4	5	a}

其中a、b、c表示1、2、3所在位置，a可以是1、2、3中任意一个数；（3）

每行的3个元素可以任意互换；（（3！）^6）

B2和B3位置可以交换；（2）

此外B2和B3的第一行共有以下9种可能：（9）

{4,5,7}|{6,8,9}

{4,5,8}|{6,7,9}

……

所以共有“混合型”：3*2*9*（3！）^6

基于B1为标准型的“块行解”有：2*（3！）^6+3*2*9*（3！）^6

总的“块行解”有：R=9！*（2*（3！）^6+3*2*9*（3！）^6）=948 109 639 680

同理得出“块列解”总数与“块行解”一致，L=948 109 639 680

设每个子块都由1到9填充的解共有G=（9！）^9

九宫格内有3个“块行”M=R^3

设满足“块行”限制在满足“子块”限制所占比例为k=M/G

同理满足“块列”限制在满足“子块”限制所占比例也是一样。

假设这两个比例相互独立，同时满足“块行列”限制在满足“子块”限制所占比例约为k^2,

最后可以估算出大约总数为G*（k^2）=6.6571*10^21种。

精确结果为6.671*10^21种，已经相当接近了。

参考文献：http://www.afjarvis.staff.shef.ac.uk/sudoku/felgenhauer_jarvis_spec1.pdf

问题二解题思路：

1.将数独所有数字一一保存，需要81byte，进一步可以压缩为40.5byte。

2.时间换空间，只保存8*8方阵的64个数字，其余17个从这64个数推导出来。这样需要32byte。

3.因为已知数独总数约为6.7*10^21个，所有可以用k bit表示每一个不同的数独，k>73，这样只需约8byte，不过这样译码的算法会变得复杂很多。

扩展问题：

如何编码表示一个不完全的数独？

我想到的是稀疏矩阵，大家有更好的方法吗！