编程之美 4.3买票找零

问题：在一场球赛开始前，售票工作进行着，每张球票为50元。现在有2n个人排队购票，其中有n人手持50元，另外n人手持100元，假设开始售票是售票处没有零钱，问这2n个人有多少种排列方式，不至于售票出出现没钱找的情况？

解法一：

只要保证从队首开始往后数，任何时候，手持100的都比手持50的少，就肯定有钱找。

这里可以看出此问题类似括号匹配问题，用一个栈遍历排列看栈最后是否为空来检验排列是否合法。

设f（x）为求合法序列之个数的函数

若第一个左括号（位置为0）与第k(k=2i+1)个符号匹配，那么剩余括号的合法序列为：f(2i)*f(2n-2i-2)

f(0) = 1，可以用递归的方式求解，不过可以进一步推导出通项公式：

又称为Catalan数。

解法二：

设n-1个1和n+1个0组成的序列称为Sigma序列，这样的序列共有C（2n,n-1）个。

总序列数为C（2n,n），即合法序列和非法序列的总和。

假设存在某个（些）k，使前k项1的个数比0少一个，那么后面2n-k项中的1就比0多出一个。

将后面2n-k项的数01互换，那么整个序列就变成一个n-1个1和n+1个0的序列（即Sigma序列）

|--1:4 0:5--||--1:10 0:9--|  =>01互换 |--1:4 0:5--||--1:9 0:10--|  （这是我例举的一个例子，冒号后为相应的个数）

10的总个数变化为：1:14 0:14 =>1:13 0:15

这样就将非法序列对应到唯一一个Sigma序列。

下面的问题是Sigma序列能否唯一对应一个非法序列？

假设存在某个（些）k，使前k项1的个数比0少一个，那么后面2n-k项中的1就比0少出一个。（注意这里是少）

|--1:4 0:5--||--1:9 0:10--| =>01互换 |--1:4 0:5--||--1:10 0:9—|

10的总个数变化为：1:13 0:15 =>1:14 0:14

这样就将一个Sigma序列对应到唯一一个非法序列。

从而得出非法序列与Sigma序列一一对应，即非法序列的个数=Sigma序列的个数。

合法序列个数=C（2n,n）-C（2n,n-1）=C（2n,n）/（n+1）

下面说明一下容易误解的几个地方：

①Sigma序列是通过局部01互换转化成非法序列的，而不是非法序列==Sigma序列。它们之间只是对应关系不是相等的关系。

②Sigma序列只是假设由n-1个1和n+1个0组成的序列，至于叫什么序列自己喜欢。

总结：

此题是Catalan数典型的应用，类似的应用还有下面这些：

1.在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?

2.一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果他

从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？

3.一个栈（足够大）的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?

4.用n个长方形填充一个高度为n的阶梯状的方法个数？