编程之美 4.1金刚坐飞机问题

问题：

现在有一班飞机将要起飞，乘客们正准备按机票号码（1, 2, 3, …N）依次排队登机。突然来了一只大猩猩（对，他叫金刚）。他也有飞机票，但是他插队第一个登上了飞机，然后随意地选了一个座位坐下了1。根据社会的和谐程度，其他的乘客有两种反应：

1. 乘客们都义愤填膺，“既然金刚同志不遵守规定，为什么我要遵守？”他们也随意地找位置坐下，并且坚决不让座给其他乘客。

2. 乘客们虽然感到愤怒，但还是以“和谐”为重，如果自己的位置没有被占领，就赶紧坐下，如果自己的位置已经被别人（或者金刚同志）占了，就随机地选择另一个位置坐下，并开始闭目养神，不再挪动位置。

那么，在这两种情况下，第 i 个乘客（除去金刚同志之外）坐到自己原机票位置的概率分别是多少？

问题1:

每个人都是随机选择座位，任意一个人坐到指定座位的概率相同，因而第i个乘客坐在其座位的概率是1/n。

问题2：

可将问题转化为“如果金刚坐在第n个位置上，那么第i个乘客坐在自己位置上的概率是多少？

（设此概率为f（n））

下面列举各种情况：

n=1或n>i	第i乘客必然可以坐到自己的位置上。（f(n)=1）
n=i	第i乘客必然坐不到自己的位置上。   （f(n)=0）
1<n<i	此情况下又分为两种子情况，看下面的示意图

  

下面是如何计算（1<n<i）下的f(n):

 

假设N=100，显然f(100)=0

f(99) = 1/2

f(98) = 1/3 + 1/3 * f(99) = 1/2

f(97) = 1/4 + 1/4 * (f(98) + f(99)) = 1/2

……

可以看出f(n)=f(n+1) (1<n<i-1)

看不明白书上的这条通项公式如何推导得出的，知道的大神解答一下！

最后得出：

P=1/n*(f(1) + f(2) + ... + f(99) + f(N))就是第i个乘客坐在自己位置上的概率。

参考文章：

http://blog.csdn.net/FlyingIceCS/article/details/6007735