解析几何笔记

数学

一、双根式

将圆锥曲线和直线联立,展开并做韦达定理是困难的。但是考虑到任意二次方程都可以写成 g(x)=a(x1x)(x2x)=0 的形式,可以将 x 换成某些常数后求出 g 的值,这样就避免了韦达定理。

例如联立方程得到:(ty2)2+5y220=0,要求 (y12)(y22) 的值。先将 (ty2)2+5y220=0 化成 (t2+5)(y1y)(y2y)=0。将 y=2 代入得到 (t2+5)(y12)(y22)=(2t2)2,由此得到 (y12)(y22)=(2t2)2t2+5

Ex 1

椭圆 x24+y23=1,左顶点为 A,过左交点 F 的直线交椭圆于 P,Q 两点。求证 APAQ​​ 的斜率乘积为定值。

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不妨设 P(x1,y1),Q(x2,y2),设直线 PQx=ty1A(2,0)

kAPkAQ=y1y2(x1+2)(x2+2)。现在需要求出分子和分母的值。
然后联立椭圆方程和直线方程:

消掉 x 可以得到 3(ty1)2+4y212=(3t2+4)(y1y)(y2y)=0(1)

消掉 y 可以得到 3x2+4(x+1)2t212=(3+4t2)(x1x)(x2x)=0(2)

y=0 代入 (1) 得:(3t2+4)y1y2=9y1y2=93t2+4

x=2 代入 2 得:(3+4t2)(x1+2)(x2+2)=4t2(x1+2)(x2+2)=43t2+4

因此两式之比为 94

Ex 2

已知椭圆方程 x220+y24=1。上顶点为 A,左右焦点为 F1,F2,左右焦点与原点中点分别为 B1,B2。过 B1 做直线 l 交椭圆于 P,QPB1PB2,求直线 l 的方程。

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B1(2,0),B2(2,0),不妨设直线方程为 x=ty2。设 P(x1,y1),Q(x2,y2)

由于 PB2QB2,因此有 (x12)(x22)+y1y2=0

接下来联立直线方程和椭圆方程:

消掉 x 可以得到:(ty2)2+5y220=(t2+5)(y1y)(y2y)=0(1)

消掉 y 可以得到:x2+5(x+2t)220=(5t2+1)(x1x)(x2x)=0(2)

y=0 代入 (1)(t2+5)y1y2=16y1y2=16t2+5

x=2 代入 (2)(5t2+1)(x12)(x22)=16+80t2,(x12)(x22)=16t2+80t2+5

将两式相加得到:(x12)(x22)+y1y2=16t2+64t2+5=0,因此 16t2=64。解得 t=±2

因此直线方程为 x±2y+2=0

二、极坐标

以椭圆的左焦点,双曲线的右焦点或者抛物线的交点作为极坐标源点建立极坐标系,三种圆锥曲线有统一的方程:

ρ=ep1ecosθ

其中 e 为圆锥曲线的离心率,p 为焦点到准线的距离。

另外,如果将原点作为极坐标原点,令 x=ρcosθ,y=ρsinθ,能够得到另一种极坐标下的椭圆方程。

Ex 1

已知直线 l:y=k(x2) 与抛物线 C:y2=8x 交于 A,B。若 |AF|=2|BF|,则 k 的值是多少?

可以知道直线 l 过抛物线交点。根据焦半径公式:p1cosθ=2p1+cosθ。解得 cosθ=13。由此可以解得 k=tanθ=22

Ex 2

已知椭圆的中心为 O,长轴、短轴长分别为 2a,2bP,Q 分别在椭圆上且 OPOQ。求证 1|OP|2+1|OQ|2 为定值。

不妨将极坐标原点设置在原点,令 x=ρcosθ,y=ρsinθ。将其代入椭圆方程得到:

x2a2+y2b2=(ρcosθ)2a2+(ρsinθ)2b2=1

整理可得:ρ2=a2b2b2cos2θ+a2sin2θ

因此 1ρ12+1ρ22=b2cos2θ+a2sin2θ+b2sin2θ+a2cos2θa2b2=a2+b2a2b2

三、平移齐次化

对于求解 k1×k2k1+k2 的双斜率问题,可以使用齐次化技巧,列出关于 k 的二次方程,再使用韦达定理。

Ex 1

已知 A,B 为抛物线 C:y2=2px 上异于顶点的两动点,以 AB 为直径的圆过顶点。求证直径 AB 过定点。

将题目条件转化可得:kOA×kOB=1。这样转化为双斜率问题。

不妨设 AB:mx+ny=1。将其与抛物线的一次项相乘以齐次化,得到:

y22px(mx+ny)=0

两边同时除以 x2 得到:

k22p(m+nk)=k22pnk2pm=0

解得 k1×k2=2pm=1,解得 m=12p。因此过定点 (2p,0)

四、同构式

对于某些结构相同的式子,例如 Ax12+Bx12+C=0Ax22+Bx22+C=0,可以将其视作 Ax2+Bx+C=0,使用韦达定理求出 x1,x2 的关系。这种问题通常考验的是人的观察力。

Ex 1

已知椭圆 x2a2+y2b2=1 内有顶点 P(1,1),过 P 的两条直线 l1,l2 分别与椭圆交于 A,CB,D,且满足 AP=λPC,BP=λPD 。若 λ 变化时,直线 CD 的斜率总是 14,求椭圆的离心率 e

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A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4) 根据定比分点公式有:

(1)x1+λx3=1+λ(2)y1+λy3=1+λ(3)x2+λx4=1+λ(4)y2+λy4=1+λ

根据相似三角形,ΔABPΔCDP 相似。因此有 kAB=kCD。将斜率表示一下就可以得到:

(5)kAB=y1y2x1x2=14

A,B 做点差,可以得到:

(1)(x1+x2)(x1x2)a2+(y1+y2)(y1y2)b2=0(2)y1y2x1x2=b2(x1+x2)a2(y1+y2)=14(6)a2(y1+y2)=4b2(x1+x2)

同理可得

(7)a2(y3+y4)=4b2(x3+x4)(8)λa2(y3+y4)=4λb2(x3+x4)

(6)+(8) 可得:

a2(y1+y2+λ(y3+y4))=4b2(x1+x2+λ(x3+x4))a2=4b2

因此 e=32

五、定比点差法

通常用于解决条件形如 AP=λPB 的问题。这里需要用到定比分点公式:若有 AP=λPB,那么有:

{xP=xA+λxB1+λyP=yA+λyB1+λ

定比分点公式解决的是分点,而点差的方法和普通的点差法是相近的。具体地,一般要将 (2) 式乘以 λ2,再用 (1) 式减,得到:

(x1λx2)(x1+λx2)a2+(x1λx2)(x1+λx2)a2=1λ2

Ex 1

已知椭圆 x24+y22=1,点 P(4,1)。过点 P 的动直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A,B。在 AB 上取点 Q 满足 |AP||QB|=|AQ||PB|。求证点 Q 在一条直线上。

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将条件稍微转化就可以得到:|AP||PB|=|AQ||QB|。不妨设其为 λ,用向量表示就是:AP=λPBAQ=λQB。根据定比分点公式得:

(1)4=x1λx21λx1λx2=4(1λ)(2)1=y1λy21λy1λy2=1λ(3)x0=x1+λx21+λx1+λx2=x0(1+λ)(4)y0=y1+λy21+λy1+λy2=y0(1+λ)

接下来将 AB 两点代入椭圆方程得到:

(5)x12+2y12=4(6)x22+2y22=4

(5)(6)×λ2 得:

(x1λx2)(x1+λx2)+2(y1λy2)(y1+λy2)=44λ2

(1)(2)(3)(4) 代入可得:

(3)4(1λ)(x1+λx2)+2(1λ)(y1+λy2)=442λ(4)2(x1+λx2)+(y1+λy2)=2(1+λ)(5)2x0(1+λ)+y0(1+λ)=2(1+λ)(6)2x0+y0=2

因此 Q 在直线 2x+y2=0 上。

Ex 2

已知 F1(c,0),F2(c,0) 分别为椭圆 x2a2+y2b2=1 的左右焦点。P 为椭圆上任意一点。直线 PF1,PF2 分别交椭圆于 A,B。设 PF1=λF1A,PF2=μF2B。求证 λ+μ 为定值。

不妨设 P(x0,y0)A(x1,y1)B(x2,y2)。根据定比分点公式:

(1)x0+λx1=c(1+λ)(2)x0+μx2=c(1+μ)(3)y0+λy1=0(4)y0+μy2=0

A,B,P 分别代入椭圆方程得到:

(5)b2x02+a2y02=a2b2(6)b2x12+a2y12=a2b2(7)b2x22+a2y22=a2b2

对其做定比点差:(5)λ2(6),(5)λ2(7) 得:

(8)b2(x0+λx1)(x0λx1)+a2(y0+λy1)(y0λy1)=a2b2(1λ2)(9)b2(x0+μx2)(x0μx2)+a2(y0+μy2)(y0μy2)=a2b2(1μ2)

(1)(2)(3)(4) 代入得:

(10)c(x0λx1)=a2(1λ)x0λx1=a2(1λ)c(11)c(x0μx2)=a2(1μ)x0μx2=a2(1μ)c

上课老师讲的做法很麻烦,要代入消元暴力去解,但是我觉得有更简单的办法。

根据观察可以得到:(11)(10)=(1)(2)。这样直接把所有元都消掉了。因此有:

a2(1λ)ca2(1μ)c=c(1+λ)c(1+μ)

很容易化简解得:

λ+μ=2(a2+c2)a2c2

六、极点极线和调和点列

  1. 极点极线成对出现。

  2. 自极三角形:

​ 二次曲线的内接四边形,四边形对角线的交点为 P。两组对边延长交于两点 Q,RΔPQR 称为自极三角形。在自极三角形中,任意两个点的连线都是另外一个点的极线。例如,QRP 的极线,PRQ 的极线,PQR 的极线。如下图是一个动态的过程,其中 A,D 点可以拖动。

  1. 调和点列:已知 P 为曲线外一点,其极线为 l。过 P 做直线与极线和曲线分别交于 QA,B。那么必然有:2|PQ|=1|PA|+1|PB|。这是一个调和平均数的形式,因此将 PQAB 叫做调和点列。下面是一个动态过程。

没什么好的 exercise,大部分能用极点极线做的题都很简单。

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