将圆锥曲线和直线联立,展开并做韦达定理是困难的。但是考虑到任意二次方程都可以写成 g(x)=a(x1−x)(x2−x)=0 的形式,可以将 x 换成某些常数后求出 g 的值,这样就避免了韦达定理。
例如联立方程得到:(ty−2)2+5y2−20=0,要求 (y1−2)(y2−2) 的值。先将 (ty−2)2+5y2−20=0 化成 (t2+5)(y1−y)(y2−y)=0。将 y=2 代入得到 (t2+5)(y1−2)(y2−2)=(2t−2)2,由此得到 (y1−2)(y2−2)=(2t−2)2t2+5。
椭圆 x24+y23=1,左顶点为 A,过左交点 F 的直线交椭圆于 P,Q 两点。求证 AP 和 AQ 的斜率乘积为定值。
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不妨设 P(x1,y1),Q(x2,y2),设直线 PQ:x=ty−1。A(−2,0)。
kAPkAQ=y1y2(x1+2)(x2+2)。现在需要求出分子和分母的值。
然后联立椭圆方程和直线方程:
消掉 x 可以得到 3(ty−1)2+4y2−12=(3t2+4)(y1−y)(y2−y)=0(1)。
消掉 y 可以得到 3x2+4(x+1)2t2−12=(3+4t2)(x1−x)(x2−x)=0(2)。
将 y=0 代入 (1) 得:(3t2+4)y1y2=−9,y1y2=−93t2+4。
将 x=−2 代入 2 得:(3+4t2)(x1+2)(x2+2)=4t2,(x1+2)(x2+2)=43t2+4。
因此两式之比为 −94。
已知椭圆方程 x220+y24=1。上顶点为 A,左右焦点为 F1,F2,左右焦点与原点中点分别为 B1,B2。过 B1 做直线 l 交椭圆于 P,Q。PB1⊥PB2,求直线 l 的方程。
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B1(−2,0),B2(2,0),不妨设直线方程为 x=ty−2。设 P(x1,y1),Q(x2,y2)。
由于 PB2⊥QB2,因此有 (x1−2)(x2−2)+y1y2=0。
接下来联立直线方程和椭圆方程:
消掉 x 可以得到:(ty−2)2+5y2−20=(t2+5)(y1−y)(y2−y)=0(1)。
消掉 y 可以得到:x2+5(x+2t)2−20=(5t2+1)(x1−x)(x2−x)=0(2)。
将 y=0 代入 (1) 得 (t2+5)y1y2=−16,y1y2=−16t2+5。
将 x=2 代入 (2) 得 (5t2+1)(x1−2)(x2−2)=−16+80t2,(x1−2)(x2−2)=−16t2+80t2+5 。
将两式相加得到:(x1−2)(x2−2)+y1y2=−16t2+64t2+5=0,因此 16t2=64。解得 t=±2。
因此直线方程为 x±2y+2=0。
以椭圆的左焦点,双曲线的右焦点或者抛物线的交点作为极坐标源点建立极坐标系,三种圆锥曲线有统一的方程:
ρ=ep1−ecosθ
其中 e 为圆锥曲线的离心率,p 为焦点到准线的距离。
另外,如果将原点作为极坐标原点,令 x=ρcosθ,y=ρsinθ,能够得到另一种极坐标下的椭圆方程。
已知直线 l:y=k(x−2) 与抛物线 C:y2=8x 交于 A,B。若 |AF|=2|BF|,则 k 的值是多少?
可以知道直线 l 过抛物线交点。根据焦半径公式:p1−cosθ=2p1+cosθ。解得 cosθ=13。由此可以解得 k=tanθ=2√2。
已知椭圆的中心为 O,长轴、短轴长分别为 2a,2b。P,Q 分别在椭圆上且 OP⊥OQ。求证 1|OP|2+1|OQ|2 为定值。
不妨将极坐标原点设置在原点,令 x=ρcosθ,y=ρsinθ。将其代入椭圆方程得到:
x2a2+y2b2=(ρcosθ)2a2+(ρsinθ)2b2=1
整理可得:ρ2=a2b2b2cos2θ+a2sin2θ。
因此 1ρ21+1ρ22=b2cos2θ+a2sin2θ+b2sin2θ+a2cos2θa2b2=a2+b2a2b2。
对于求解 k1×k2,k1+k2 的双斜率问题,可以使用齐次化技巧,列出关于 k 的二次方程,再使用韦达定理。
已知 A,B 为抛物线 C:y2=2px 上异于顶点的两动点,以 AB 为直径的圆过顶点。求证直径 AB 过定点。
将题目条件转化可得:kOA×kOB=−1。这样转化为双斜率问题。
不妨设 AB:mx+ny=1。将其与抛物线的一次项相乘以齐次化,得到:
y2−2px(mx+ny)=0
两边同时除以 x2 得到:
k2−2p(m+nk)=k2−2pnk−2pm=0
解得 k1×k2=−2pm=−1,解得 m=12p。因此过定点 (2p,0)。
对于某些结构相同的式子,例如 Ax21+Bx21+C=0 和 Ax22+Bx22+C=0,可以将其视作 Ax2+Bx+C=0,使用韦达定理求出 x1,x2 的关系。这种问题通常考验的是人的观察力。
已知椭圆 x2a2+y2b2=1 内有顶点 P(1,1),过 P 的两条直线 l1,l2 分别与椭圆交于 A,C 和 B,D,且满足 −−→AP=λ−−→PC,−−→BP=λ−−→PD 。若 λ 变化时,直线 CD 的斜率总是 −14,求椭圆的离心率 e。
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设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4) 根据定比分点公式有:
x1+λx3=1+λy1+λy3=1+λx2+λx4=1+λy2+λy4=1+λ(1)(2)(3)(4)
根据相似三角形,ΔABP 与 ΔCDP 相似。因此有 kAB=kCD。将斜率表示一下就可以得到:
kAB=y1−y2x1−x2=−14(5)
对 A,B 做点差,可以得到:
(x1+x2)(x1−x2)a2+(y1+y2)(y1−y2)b2=0⟹y1−y2x1−x2=−b2(x1+x2)a2(y1+y2)=−14⟹a2(y1+y2)=4b2(x1+x2)(1)(2)(6)
同理可得
a2(y3+y4)=4b2(x3+x4)λa2(y3+y4)=4λb2(x3+x4)(7)(8)
(6)+(8) 可得:
a2(y1+y2+λ(y3+y4))=4b2(x1+x2+λ(x3+x4))⟹a2=4b2
因此 e=√32。
通常用于解决条件形如 −−→AP=λ−−→PB 的问题。这里需要用到定比分点公式:若有 −−→AP=λ−−→PB,那么有:
⎧⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎩xP=xA+λxB1+λyP=yA+λyB1+λ
定比分点公式解决的是分点,而点差的方法和普通的点差法是相近的。具体地,一般要将 (2) 式乘以 λ2,再用 (1) 式减,得到:
(x1−λx2)(x1+λx2)a2+(x1−λx2)(x1+λx2)a2=1−λ2
已知椭圆 x24+y22=1,点 P(4,1)。过点 P 的动直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A,B。在 AB 上取点 Q 满足 |AP||QB|=|AQ||PB|。求证点 Q 在一条直线上。
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将条件稍微转化就可以得到:|AP||PB|=|AQ||QB|。不妨设其为 λ,用向量表示就是:−−→AP=−λ−−→PB,−−→AQ=λ−−→QB。根据定比分点公式得:
4=x1−λx21−λ⟹x1−λx2=4(1−λ)1=y1−λy21−λ⟹y1−λy2=1−λx0=x1+λx21+λ⟹x1+λx2=x0(1+λ)y0=y1+λy21+λ⟹y1+λy2=y0(1+λ)(1)(2)(3)(4)
接下来将 AB 两点代入椭圆方程得到:
x21+2y21=4x22+2y22=4(5)(6)
(5)−(6)×λ2 得:
(x1−λx2)(x1+λx2)+2(y1−λy2)(y1+λy2)=4−4λ2
将 (1)(2)(3)(4) 代入可得:
4(1−λ)(x1+λx2)+2(1−λ)(y1+λy2)=4−42λ⟹2(x1+λx2)+(y1+λy2)=2(1+λ)⟹2x0(1+λ)+y0(1+λ)=2(1+λ)⟹2x0+y0=2(3)(4)(5)(6)
因此 Q 在直线 2x+y−2=0 上。
已知 F1(−c,0),F2(c,0) 分别为椭圆 x2a2+y2b2=1 的左右焦点。P 为椭圆上任意一点。直线 PF1,PF2 分别交椭圆于 A,B。设 −−→PF1=λ−−→F1A,−−→PF2=μ−−→F2B。求证 λ+μ 为定值。
不妨设 P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2)。根据定比分点公式:
x0+λx1=−c(1+λ)x0+μx2=c(1+μ)y0+λy1=0y0+μy2=0(1)(2)(3)(4)
将 A,B,P 分别代入椭圆方程得到:
b2x20+a2y20=a2b2b2x21+a2y21=a2b2b2x22+a2y22=a2b2(5)(6)(7)
对其做定比点差:(5)−λ2(6),(5)−λ2(7) 得:
b2(x0+λx1)(x0−λx1)+a2(y0+λy1)(y0−λy1)=a2b2(1−λ2)b2(x0+μx2)(x0−μx2)+a2(y0+μy2)(y0−μy2)=a2b2(1−μ2)(8)(9)
将 (1)(2)(3)(4) 代入得:
−c(x0−λx1)=a2(1−λ)⟹x0−λx1=a2(1−λ)−cc(x0−μx2)=a2(1−μ)⟹x0−μx2=a2(1−μ)c(10)(11)
上课老师讲的做法很麻烦,要代入消元暴力去解,但是我觉得有更简单的办法。
根据观察可以得到:(11)−(10)=(1)−(2)。这样直接把所有元都消掉了。因此有:
a2(1−λ)−c−a2(1−μ)c=−c(1+λ)−c(1+μ)
很容易化简解得:
λ+μ=2(a2+c2)a2−c2
-
极点极线成对出现。
-
自极三角形:
二次曲线的内接四边形,四边形对角线的交点为 P。两组对边延长交于两点 Q,R,ΔPQR 称为自极三角形。在自极三角形中,任意两个点的连线都是另外一个点的极线。例如,QR 为 P 的极线,PR 是 Q 的极线,PQ 是 R 的极线。如下图是一个动态的过程,其中 A,D 点可以拖动。
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