[笔记]插值

  • 垃圾插值

给定 n+1 个点 (x1,0),(x2,0),(x3,0)(xn,0),(0,1)。求过这 n+1 个点的 n 次多项式。

首先,答案肯定可以写成 F(x)=ai=1n(xxi) 的形式。关键是确定 a 是多少。

这个多项式的常数项应该等于 1。所以 a×(x1)×(x2)×(x3)×(xn)=1。所以 a=1(xi)

于是这个多项式可以写成 F(x)=1(xi)i=1n(xxi)

这个形式非常的丑。所以考虑改一下写法。考虑将 a 中的每个 1(xi) 写进括号里,就变成了:

F(x)=1x1(xx1)×1x2(xx2)1xn(xxn)

=(1xx1)(1xx2)(1xxn)

这种形式非常美妙。但是没什么用。

  • 拉格朗日插值

给定 n+1 个点(任意点)。求经过这些点的 n 次多项式。

不知道拉格朗日怎么想出来的。

F(x)=i=1nbij=1,jinxxjxixj

直接 n2 乱插就行了。太猛了。

如果这 n 个点是连续的,发现多项式分母是一个阶乘形式,分子是一个乘积形式。所以可以直接处理阶乘逆元和 xi 前缀积和后缀积。O(n) 就可以直接算了。

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