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解决积性函数 $f$ 的前缀和问题。

下文中的一些记号：

• $F(n) = \sum_{i = 1}^{n} f(i)$：$f(i)$ 的前缀和。

• $\text{lp}(n)$：$n$ 的最小质因子。

• $p_k$：全体质数中第 $k$ 小的质数。

• $\dfrac{x}{y}$：默认下取整。

---

首先尝试解决这个问题：求出

$$G(m) = \sum_{i \in P, i \le m} f(i)$$

其中 $m \in \{\dfrac{n}{1}, \dfrac{n}{2}, \dfrac{n}{3} \cdots , \dfrac{n}{n}\}$，一共有 $\sqrt n$ 中取值。

考虑 dp。设 $g(j, m)$ 表示：

$$\begin{aligned} g(j, m) &= \sum_{1 \le i \le m} [i \in P \bigcup \text{lp}(i) > p_j] f'(i) \end{aligned}$$

也就是对于所有的质数或者最小质因数大于 $p_j$ 的 $f'$ 求和。

这里的 $f'$ 需要满足下面的三个性质：

• $\forall p \in P, f'(p) = f(p)$。

• $f'$ 是完全积性函数。

• $\sum f'$ 可以快速求值。

初始时，$g(0, m) = \sum_{2 \le i \le m} f'(i)$。

转移时分两种情况：

• 若 $p_j ^ 2 > m$：$g(j, m) = g(j - 1, m)$。因为不存在 $i \in [1, m]$，使得 $\text{lp}(i) > p_j$。

• 若 $p_j ^ 2 \le m$：

$$\begin{aligned} g(j, m) &= g(j - 1, m) - f'(p_j) \times \left ( g(j - 1, \dfrac{m}{p_j}) - \sum \limits_{1 \le i < j} f'(p_i) \right ) \\ &= g(j - 1, m) - f'(p_j) \times \left ( g(j - 1, \dfrac{m}{p_j}) - g(j - 1, p_{j - 1}) \right ) \end{aligned}$$

这个式子怎么理解呢？首先，这里可以理解成从 $g(j - 1, m)$ 里面筛掉所有 $\text{lp} = p_j$ 的 $f'$ 值。而筛掉的值一定可以表示成 $p_j \times q$，其中 $q$ 是一个 $\le \dfrac{m}{p_j}$ 而且最小质因子 $\le p_j$ 的数。最后减掉的那块，是 $g(j - 1, \dfrac{m}{p_j})$ 里面的那部分质数。由于 $f'$ 是完全积性函数，这两部分可以直接相乘。

以上部分时间复杂度被证明是 $O(\dfrac{n ^ {0.75}}{\log n})$。

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上面求出了 $G(m) = \sum_{i \in P, i \le m} f(i) = g(\pi(m), m)$。