[笔记]组合数学的符号化方法

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组合的符号化方法

使用 $\mathcal{ABCDEFG}$ 来表示组合类，使用 $a, b, c, d \in \mathcal{ABCDEF\cdots}$ 表示组合对象。使用 $|a|$ 表示组合对象的大小。

定义两个组合类 $\mathcal{A, B}$ 的笛卡尔积为 $\mathcal{A \times B} = \{(a, b) \ |\ a \in \mathcal{A}, b \in \mathcal{B} \}$。

定义代数对象 $z$。$a$ 的幂表示记做 $z ^ {|a|}$。

无符号体系

定义组合类 $\mathcal{A}$ 的 $\mathbf{OGF}$ 为：

$$A(z) = \sum_{a \in \mathcal{A}} z ^ {|a|} = \sum_{i \le n} a_i z ^ i$$

不难发现有下面等价关系：

• $C(z) = A(z) + B(z) \Longleftrightarrow \mathcal{C} = \mathcal{A} + \mathcal{B}$
• $C(z) = A(z) \times B(z) \Longleftrightarrow \mathcal{C} = \mathcal{A} \times \mathcal{B}$

其中 $\times$ 操作表示两个组合类之间的笛卡尔积。

---

接下来定义一些基本的组合类。

• $\mathcal{E} = \{\epsilon\}$，其中 $\epsilon$ 表示中性对象，$\mathcal{E}$ 为中性类。其大小为 $0$。$E(z) = z ^ {|\epsilon|} = 1$。
• $\mathcal{Z} = \{\circ\}$，其中 $\circ$ 为原子对象，$\mathcal{Z}$ 为原子类。其大小为 $1$。$Z(z) = z$。

Example 1.1 ：求卡特兰数的 $\mathbf{OGF}$。

一个广为人知的卡特兰数定义方法是通过 $n$ 个点的二叉树数量。

对于一个二叉树，其一个节点为一个原子对象。空树可以看做中性对象。

对于一个节点，需要考虑左右儿子，本身节点以及空集的情况。因此有：

$$\mathcal{C} = \mathcal{E} + \mathcal{C} \times \mathcal{Z} \times \mathcal{C}$$

因此有 $C(z) = E(z) + C(z) \times Z(z) \times C(z) = 1 + z \times C(z) ^ 2$。移项得：

$$z \times C(z) ^ 2 - C(z) +1 = 0$$

集合的不相交并构造 / 可重集构造

定义 $\mathcal{E_1}, \mathcal{E_2}$ 表示两个不同的中性类。那么

$$\mathcal{A +B} = (\mathcal{E_1} \times A) +(\mathcal{E_2} \times B)$$

这样有效区分了两个集合。这个定义可以起到一个类似多重集的效果。

集合的 Sequence 构造

集合的 Sequence 构造生成所有可能的排列（有序）。

例如：

• $\mathrm{SEQ(\{a\})} = \{\epsilon\} + \{a\} + \{(a, a)\} +\{(a, a, a)\} + \cdots$

• $\mathrm{SEQ(\{a, b\})} = \{\epsilon\} + \{a, b\} + \{(a, a)\} +\{(a, b)\} +\{(b, a)\} + \{(b, b)\} \\ +\{(a, a, a)\} +\{(a, a, b)\}+\{(a, b, a)\} + \cdots$

可以看出，$\mathrm{SEQ}$ 生成了所有可能的不同有序组合。

我们定义，$\mathrm{SEQ(\mathcal{A})} = \mathcal{E +A + (A \times A) +(A \times A \times A) +\cdots}$

对应 $\mathbf{OGF}$ 的语言为：$Q(A(z)) = 1 + A(z) + A(z) ^ 2 + A(z) ^ 3 +\cdots = \dfrac{1}{1 - A(z)}$

Example 3.1：求长度为 $n$ 的 $01$ 串有多少种。

使用 $\mathrm{SEQ}$ 构造，不难得出，$Q(A(z)) = Q(\{z, z\}) = \dfrac{1}{1 - 2z}$。

答案显然是 $[z ^ n]\dfrac{1}{1 - 2z} = 2 ^ n$。

Example 3.2：大小为 $n$ 的有序有根树个数。

考虑组合类 $\mathcal{T}$，考虑任意一个节点，有：

$$\mathcal{T} = \{\circ\} \times \mathrm{SEQ}(\mathcal{T})$$

也就是

$$T(z) = \dfrac{z}{1 - T(z)}$$

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所以这个玩意实际上就是少了一个点的卡特兰数。

集合的 Multiset 构造

Multiset 构造生成了所有无序的组合。如：

$$\mathrm{SEQ(\{a, b\})} = \{\epsilon\} + \{a\} +\{b\} + \{(a, a)\} +\{(a, b)\} + \{(b, b)\} \\ +\{(a, a, a)\} +\{(a, a, b)\} + \cdots$$

注意到形如 $\{(a, b)\}, \{(b, a)\}$ 的都在 $\mathrm{SEQ}$ 中出现了，但是在 $\mathrm{MSET}$ 中都没有出现。

我们定义其递推式为：

$$\mathrm{MSET}(\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \cdots \alpha_n\}) = \mathrm{MSET}(\{\alpha_1, \alpha_2 \cdots \alpha_{n - 1}\}) \times \mathrm{SEQ}(\alpha_n)$$

即

$$\mathrm{MSET}(\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \cdots \alpha_n\}) = \mathrm{SEQ}(\alpha_1) \times \mathrm{SEQ}(\alpha_2) \times \mathrm{SEQ}(\alpha_3) \times \cdots \times \mathrm{SEQ}(\alpha_n)$$

也即

$$\mathcal{M} = \mathrm{MSET}(\mathcal{A}) = \prod_{\alpha \in \mathcal{A}} \mathrm{SEQ}(\alpha)$$

改写成生成函数就是

$$M(z) = \prod_{\alpha \in \mathcal{A}} \left ( \dfrac{1}{1 - z ^ {|\alpha|}} \right ) = \prod_{i = 1} \left ( \dfrac{1}{1 - z ^ i} \right ) ^ {A_i}$$

特别的，当 $\alpha = \{\circ\}$ 时，$M(z) = \left ( \dfrac{1}{1 - z} \right ) ^ n$。

对于计算，我们可以将 $M$ 取 $\ln$ 后再做 $\exp$。也就是

$$M(z) = \exp \ln \prod_{i = 1} \left ( \dfrac{1}{1 - x ^ i} \right) ^ {A_i}\\ = \exp \sum_{i = 1} A_i \ln \left ( \dfrac{1}{1 - x ^ i} \right)$$

注意到有

$$\ln (1+z) = \dfrac{z}{1} - \dfrac{z^2}{2} +\dfrac{z^3}{3} - \dfrac{z^4}{4} + \cdots = \sum_{i \ge 1} \dfrac{(-1) ^ {i - 1}z^i}{i}$$

因此有

$$\exp \sum_{i = 1} A_i \ln \left ( \dfrac{1}{1 - x ^ i} \right) = \exp \left ( \sum_{i \ge 1} (-A_i \ln (1 - x_i))\right ) \\ = \exp \left ( \sum_{i \ge 1} (-A_i \ln (1 + (-x_i)) \right ) \\ = \exp \left ( \sum_{i \ge 1} \left (-A_i \sum_{j \ge 1} \dfrac{(-1)^{j - 1}z^{ij}}{j} \right ) \right )\\ = \exp \left ( \sum_{i \ge 1} \left (A_i \sum_{j \ge 1} \dfrac{z^{ij}}{j} \right ) \right )\\ = \exp \left ( \sum_{i \ge 1} \left (\sum_{j \ge 1} \dfrac{A_i z^{ij}}{j} \right ) \right )\\ = \exp \left ( \sum_{i \ge 1} \dfrac{A(z ^ i)}{i} \right )\\ $$

记 $\mathrm{Exp}(A(z)) = M(z)$，称为 Pólya 指数。其逆变换为 $\mathrm{Ln}$。