[比赛记录]APIO 2010

合集 - 比赛记录(12)

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收起

A. Commando

设 $f_i$ 表示恰好以 $i$ 为一个段结尾，前面的最大战斗力。前缀和数组设为 $s_i$。有转移：

$$f_i = \max_{j < i} \{ f_j + \color{red}{{a(s_i - s_j) ^ 2 + b(s_i - s_j) + c}} \}$$

红色这一坨看起来很凸 / 斜率优化。尝试搞搞斜率。

若 $j > k$ 且 $j$ 是决策点，则需要满足：

$$f_j + a(s_i - s_j) ^ 2 + b(s_i - s_j) > f_k + a(s_i - s_k) ^ 2 + b(s_i - s_k)$$

移项整理得到

$$s_i > \dfrac{f_j - f_k + a(s_j - s_k) ^ 2 - b(s_j - s_k)}{2a(s_j - s_k)}$$

于是欣然做单调栈。线性。

B. Patrol

$k = 1$ 是平凡的。找到直径，连起直径的两端，就可以少走一个环。

$k = 2$ 是，猜到结论：必然有一条路径是直径。

把直径边权设为 $-1$，再找一遍直径，就是第二条路径。