[笔记]决策单调性

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$$f_{i} = \min_{j \le i} f_j + w(i, j)$$

我们设 $f(i, j)$ 表示 $j$ 为决策点，$i$ 为被决策点。则若满足：

$$\dfrac{\frac{\partial f}{\partial i}}{\partial j} > 0$$

恒成立，则满足四边形不等式。

也即，若 $w$ 的二维混差恒非负，则该函数具有凸性。

为什么只需要证明 $w$ 的凸性

可以略过。

引入完全单调矩阵的概念。若矩阵 $\mathcal{A}$ 满足 $\forall i < j, p_i < p_j$，则称 $\mathcal{A}$ 为完全单调矩阵。其中 $p_i$ 表示第 $i$ 行的最小值所在的位置。

我们定义蒙日矩阵。若矩阵 $\mathcal{M}$ 满足 $\forall i_1 < i_2, j_1 < j_2$，都有 $\mathcal{M}_{i_1, j_1} + \mathcal{M}_{i_2, j_2} \le \mathcal{M}_{i_1, j_2} + \mathcal{M}_{i_2, j_1}$ 则称 $\mathcal{M}$ 为蒙日矩阵。

我们发现蒙日矩阵一定是完全单调矩阵。其逆命题不成立。

基于蒙日矩阵的性质，蒙日矩阵的数乘和加法是封闭的。我们基于基本的矩阵——常数阵可以得到，蒙日矩阵的某行或者某列同时加上常数 $k$ 后仍然是蒙日矩阵。

蒙日矩阵的转置 $\mathcal{M}$ 也是蒙日矩阵。因此我们可以说，对蒙日矩阵做初等行列变换后得到的还是蒙日矩阵。

对于 1D 的转移，$f_i = \min_{j \le i}\{f_j + w_{j, i}\}$。这里相当于对矩阵 $\mathcal{W}$ 第 $j$ 行同时加上一个常数 $f_j$。根据上面的性质，只要证明 $\mathcal{W}$ 是决策单调的就可以了。

对于 2D 的情况其实同理。