[文化课相关]曲线系方程

上课的时候突然萌生的想法，这里记录一些已经得到的结论。我认为曲线系方程是大有可为的一类数学结构。

引理与基础

定义 $1$：圆锥曲线是形如 $\mathrm{Ax^2 + By^2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0}$ 的曲线。

Lemma1：平面上五个点（任意三点不共线）可以唯一确定一条二次曲线。

证明：任意三点不共线不同线证明这些点的坐标线性无关。带入圆锥曲线得到 $\mathrm{(A, B, C, D, E, F)}$ 必然线性相关。

Lemma2：四条直线 $l_1, l_2, l_3, l_4$ 有四个不同交点，则过该四个点的所有二次曲线为：

$$\lambda l_1l_2 + \mu l_3l_4 = 0$$

证明：需要五个点来确定一个圆锥曲线。如果只有四个点，填上的 $\lambda$ 就是新的参数。这样构成五个方程。添加的 $\lambda, \mu$ 并不构成两个参数，只是为了防止漏解。

Lemma3：三条直线 $l_1, l_2, l_3$ 有三个不同的交点。过这三个交点的所有二次曲线为：

$$\lambda_1 l_1l_2 + \lambda_2 l_2l_3 + \lambda_3 l_3l_1 = 0$$

证明同上。三个交点和 $\lambda_i$ 构成六个参数。

Lemma4：两个圆锥曲线 $\mathcal{F_1, F_2}$ 有四个交点，过该四点的曲线系为：

$$\mathcal{\lambda F_1 +\mu F_2} = 0$$

证明同上。

Lemma5：过两个直线 $l_1, l_2$ 与二次曲线 $C$ 交点的曲线系为：

$$\lambda l_1l_2 + \mu C = 0$$

证明同上。

可以发现最多涉及了三个参数，方程次数最多是 $2$。因此只需要写出曲线系方程后，与已知方程比对就可以得到参数的值。

下面是一些例子。