群论笔记

群论

群的定义

我们称一个集合 \(G\) 和一个二元运算符 \(\circ\) 构成的系统叫做「群」（Group） \((G, \circ)\)。

在数学和抽象代数中，「群论」主要是对「群」的研究。

一个群 \((G, \circ)\) 之所以是一个群，是因为其同时具有下面的性质：

• 封闭性：\(\forall a, b \in G\)，\(a \circ b \in G\)。
• 结合律：\(\forall a, b, c \in G\)，\((a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)\)。
• 单位元：\(\exist e \in G\)，\(\forall a \in G\)，\(a \circ e = e \circ a = a\)。
• 逆元：\(\forall a \in G\)，\(\exist b \in G\)，\(a \circ b = b \circ a = e\)。此处称 \(b = a ^ {-1}\)。

例如，整数群对加法构成一个群，实数域对加法和乘法也构成一个群。

群的衍生结构

• 若 \((G, \circ)\) 满足封闭性，结合律，则称 \((G, \circ)\) 为一个半群（semigroup）。

• 若 semigroup \((G, \circ)\) 同时具有单位元，则该群为幺半群。

• 若 group \((G, \circ)\) 同时满足交换律，则称 \((G, \circ)\) 为阿贝尔群（Abelian Group）。

环的定义

环（ring）是一个集合 \(R\) 以及对于该集合的两个二元运算 \(\bullet, \circ\) 构成的代数结构。环需要满足如下性质：

• \((R, \bullet)\) 构成阿贝尔群，其单位元记为 \(\dot e\)，其逆元记为 \(-a\)。
• \((R, \circ)\) 构成半群。
• 分配律：\(\forall a, b, c, \in R\)，\(a \circ (b \bullet c) = a \circ b \bullet a \circ c\) 成立。

研究环的主要称为环论。

实数域，加法和乘法就是一个环。其中 $\bullet $ 对应 \(+\)，\(\circ\) 对应 \(\times\)。有时候我们也这么称呼 \(\bullet, \circ\)。

环的衍生结构

• 环 \(R\) 同时满足交换律，则称为交换环。
• 存在乘法单位元的环称为幺环。

群同态

某种函数 \(\varphi\)，用于关联两个群 \((G, \circ)\) 和 \((H, \bullet)\)。具体地，群同态指函数 \(\varphi\) 使得 \(\forall a, b \in G，\varphi(a \circ b) = \varphi(a) \bullet \varphi(b)\)。

子群

\((G, \circ)\) 子群（subgroup）指集合 \(H \subseteq G\)，且 \((H, \circ)\) 也为一个群。

子群检验法 可以检验对于集合 \(H \subseteq G\)，\((H, \circ)\) 是否是一个群：\(\forall g, h \in H, g ^ {-1} \circ h \in H\)。注意到这也是充要条件。

陪集

网上的解释都很难理解的概念。

本质上是这样一个东西：考虑 \((G, \circ)\) 的一个子群 \((H, \circ)\)，我们定义一种变换 \(\varphi：(H, \circ) \longrightarrow (H', \circ)\)。则 \(\varphi((H, 0))\) 就是 \(G\) 的一个陪集。

这个 \(\varphi\) 变换究竟是什么呢？其实 \(\varphi\) 变换就是对于某个元素 \(g \in G\)，\((H, \circ) \longrightarrow (\{g \circ h\, | \,h \in H\}, \circ)\)。我们暂且乘这个变换为左乘，得到的群为左陪集。

同样的，我们定义集合 \(\tilde{\varphi}\)：对于某个元素 \(g \in G\)，\((H, \circ) \longrightarrow (\{h \circ g\, | \,h \in H\}, \circ)\)。我们称这个变换为右乘，得到的群为右陪集。

为了方便，我们将左乘写作 \(gH\)，右乘写作 \(Hg\)。

令 \([G : H]\) 表示 \(G\) 中 \(H\) 的左陪集数（等价与右陪集数）。