群论笔记

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群论

群的定义

我们称一个集合 $G$ 和一个二元运算符 $\circ$ 构成的系统叫做「群」（Group） $(G, \circ)$。

在数学和抽象代数中，「群论」主要是对「群」的研究。

一个群 $(G, \circ)$ 之所以是一个群，是因为其同时具有下面的性质：

• 封闭性：$\forall a, b \in G$，$a \circ b \in G$。
• 结合律：$\forall a, b, c \in G$，$(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)$。
• 单位元：$\exist e \in G$，$\forall a \in G$，$a \circ e = e \circ a = a$。
• 逆元：$\forall a \in G$，$\exist b \in G$，$a \circ b = b \circ a = e$。此处称 $b = a ^ {-1}$。

例如，整数群对加法构成一个群，实数域对加法和乘法也构成一个群。

群的衍生结构

• 若 $(G, \circ)$ 满足封闭性，结合律，则称 $(G, \circ)$ 为一个半群（semigroup）。

• 若 semigroup $(G, \circ)$ 同时具有单位元，则该群为幺半群。

• 若 group $(G, \circ)$ 同时满足交换律，则称 $(G, \circ)$ 为阿贝尔群（Abelian Group）。

环的定义

环（ring）是一个集合 $R$ 以及对于该集合的两个二元运算 $\bullet, \circ$ 构成的代数结构。环需要满足如下性质：

• $(R, \bullet)$ 构成阿贝尔群，其单位元记为 $\dot e$，其逆元记为 $-a$。
• $(R, \circ)$ 构成半群。
• 分配律：$\forall a, b, c, \in R$，$a \circ (b \bullet c) = a \circ b \bullet a \circ c$ 成立。

研究环的主要称为环论。

实数域，加法和乘法就是一个环。其中 $\bullet$ 对应 $+$，$\circ$ 对应 $\times$。有时候我们也这么称呼 $\bullet, \circ$。

环的衍生结构

• 环 $R$ 同时满足交换律，则称为交换环。
• 存在乘法单位元的环称为幺环。

群同态

某种函数 $\varphi$，用于关联两个群 $(G, \circ)$ 和 $(H, \bullet)$。具体地，群同态指函数 $\varphi$ 使得 $\forall a, b \in G，\varphi(a \circ b) = \varphi(a) \bullet \varphi(b)$。

子群

$(G, \circ)$ 子群（subgroup）指集合 $H \subseteq G$，且 $(H, \circ)$ 也为一个群。

子群检验法 可以检验对于集合 $H \subseteq G$，$(H, \circ)$ 是否是一个群：$\forall g, h \in H, g ^ {-1} \circ h \in H$。注意到这也是充要条件。

陪集

网上的解释都很难理解的概念。

本质上是这样一个东西：考虑 $(G, \circ)$ 的一个子群 $(H, \circ)$，我们定义一种变换 $\varphi：(H, \circ) \longrightarrow (H', \circ)$。则 $\varphi((H, 0))$ 就是 $G$ 的一个陪集。

这个 $\varphi$ 变换究竟是什么呢？其实 $\varphi$ 变换就是对于某个元素 $g \in G$，$(H, \circ) \longrightarrow (\{g \circ h\, | \,h \in H\}, \circ)$。我们暂且乘这个变换为左乘，得到的群为左陪集。

同样的，我们定义集合 $\tilde{\varphi}$：对于某个元素 $g \in G$，$(H, \circ) \longrightarrow (\{h \circ g\, | \,h \in H\}, \circ)$。我们称这个变换为右乘，得到的群为右陪集。

为了方便，我们将左乘写作 $gH$，右乘写作 $Hg$。

令 $[G : H]$ 表示 $G$ 中 $H$ 的左陪集数（等价与右陪集数）。