CF 3000+

CF1981F / *3000

首先有朴素的 dp：$f_{u, i}$ 表示以 $u$ 为根的子树已经 finish 了，经过 $u$ 往上走的路径 MEX 为 $i$。$i$ 的取值是 $[1, n + 1] \bigcap \mathbb{Z}$，因为一共只有 $n$ 个点。

转移的时候分情况，看看子树往上走的路径是在 $u$ 断开还是继续向上延伸。如果有两个儿子还要考虑是否需要将两个向上走的链在 $u$ 这里 merge 起来。

这个朴素 dp 是 $O(n ^ 2)$ 的。但是根据直觉 MEX 不会很大。因此转移时第二维只转移到 $5000$。由于 CF 的神机，很轻松的就跑过了。

Proof：假设权值 $i$ 出现了 $s_i$ 次。对于一个序列，将每个 $i$ 与其左右划分为一段，剩下的部分同样成段。这样一共能分出 $2s_i + 1$ 段。

其中含有 $i$ 的段 MEX $\le i$（因为 $i$ 一定不在序列中），含有 $i$ 的段 MEX $\le 4$（因为段长为 $3$）。

设 MEX 上界为 $t$，则有 $\min\{(s_i + 1)i + 4s_i\} \ge t$。又 $\min\{(s_i + 1)i + 4s_i\} < \min\{(s_i + 1)i + 4(s_i + 1)\}$，可以放缩一下，解得 $s_i \le \left \lfloor \dfrac{t}{i +4} \right \rfloor - 1$。

由于 $\sum s_i = n$，根据调和级数可以得到 $n = O(t \ln t)$，也就是说 $t$ 实际上是 $O(\dfrac{n}{\ln n})$ 级别的。题解说 $t = 3863$。

CF1476F / *3000

怎么会有这么蠢的 CF *3000？

想一下，设 $f_i$ 表示填满前 $i$ 个需要的最少灯笼不好做。设 $f_i$ 表示前 $i$ 个灯笼能扩展的最长前缀。分情况转移：

• $f_{i-1}<i$：$f_i \leftarrow f_{i-1}$

• $f_{i-1}>i$：$f_i \leftarrow \max\{f_{i-1}, i+p_i\}$

• $i$ 向左与前面的前缀拼起来。设 $t$ 为 $f_t \ge i - p_i$ 的最小位置。$f_{i} \leftarrow \max\{i-1,\displaystyle \max_{t<j<i} \{j + p_j\}\}$

$t$ 可以二分，$\max\{j + p_j\}$ 可以 RMQ。复杂度线性对数。