一些典型的计数

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这里将会记录一些典型的计数。

图计数

无向图计数

显然，$n$ 个点的无向图个数应该为 $2 ^ {\binom{n}{2}}$。

$n$ 个点 $m$ 条边无向图计数

不妨设 $g(n, m)$ 表示 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图个数，显然有

$$g(n, m) = \dbinom{\binom{n}{2}}{m}$$

设 $f(n, m)$ 表示 $n$ 个点 $m$ 条边的无向连通图个数。对于无向图，枚举 $1$ 号点相连的连通块大小以及边数，可以得到下面等式：

$$g(n, m) = \sum_{a \le n} \sum_{b \le m} \binom{n - 1}{a - 1} g(n - a, m - b) \times f(a, b)$$

将 $f(n, m)$ 的项分离出来，我们可以得到：

$$\begin{array}{c} g(n, m) = f(n, m) +\sum \limits_{a < n} \sum\limits_{b \le m} \dbinom{n - 1}{a - 1} g(n - a, m - b) \times f(a, b)\\\\ + \sum\limits_{a \le n} \sum\limits_{b < m} \dbinom{n - 1}{a - 1} g(n - a, m - b) \times f(a, b)\\\\ - \sum\limits_{a < n} \sum\limits_{b < m} \dbinom{n - 1}{a - 1} g(n - a, m - b) \times f(a, b) \end{array}$$

这个公式看起来有点繁琐，不妨设 $\mathcal{H}(n, m, x, y)$ 表示 $\sum\limits_{a \le n} \sum\limits_{b \le m} \dbinom{n - 1}{a - 1} g(n - a, m - b) \times f(a, b)$，移项后不难得到：

$$f(n, m) = g(n, m) - h(n, m, n - 1, m) - h(n, m, n, m - 1) + h(n, m, n - 1, m - 1)$$

复杂度达到 $O((nm) ^ 2)$。使用斯特林反演可以做到 $O(n ^ 2 m)$。

$n$ 点无向连通图计数

和上面的思路基本相同。最暴力的思路是枚举 $1$ 号节点所在连通块的大小。

不妨设 $g(n)$ 表示 $n$ 个点的 无向图 个数，$f(i)$ 表示 $n$ 个点的 无向连通图 个数，那么有：

$$g(n) = \sum_{i \le n} \dbinom{n - 1}{i - 1} f(i) g(n - i)$$

将 $f(n)$ 分离并移项，可以得到：

$$f(n) = g(n) - \sum_{i < n}\dbinom{n - 1}{i - 1}f(i)g(n - i)$$

这个做法是 $O(n ^ 2)$ 的。

接下来你发现，若设出 $f, g$ 的 $\mathbf{EGF}$ 分别为 $\mathcal{F, G}$，上述式子可以直接分治 NTT。这样可以做到 $O(n \ \mathrm{polylog}(n))$ 的复杂度。

具体题目可以见 $\texttt{ACW #307}$。

树的拓扑序计数

这里的树指的是一棵根向树。

• 使用树形 $\text{dp}$ 求解
  不妨设 $f_u$ 表示以 $u$ 为根的树的拓扑序计数。不妨设其有两个儿子 $v_1, v_2$。这里的转移不可以将 $f_{v_1}, f_{v_2}$ 简单相乘，还应该考虑两个子树之间的错排顺序。考虑从 $sz_{v_1} + sz_{v_2}$ 中选出 $sz_{v_1}$ 个放在前面，其余的放在后面。那么有方程

$$f_{u} = f_{v_1} \times f_{v_2} \times \dbinom{sz_{v_1} +sz_{v_2}}{sz_{v1}}$$

推广到一般树，就有

$$f_{u} = (sz_u - 1)! \prod_{v \in son(u)} \dfrac{f_v}{sz_{v}!}$$

时间复杂度 $O(n)$。

• 使用生成函数求解

不妨设 $\mathcal{[x ^ i]F_u(x)}$ 表示 $u$ 子树选择了 $i$ 个节点的拓扑序方案数。$\mathcal{F}$ 为方案数的 $\mathbf{EGF}$。那么有

$$\mathcal{F_u(x)} = x \prod \mathcal{F_v(x)}$$

其中乘上 $x$ 表示选择自己的方案数。

使用 NTT 即可做到 $O(n \log n)$。所求即为 $[x ^ n]\mathcal{F_1(x)}$。

二叉树计数

著名的卡特兰数。不妨设 $f(i)$ 表示 $i$ 个点的二叉树个数。那么有递推式：

$$f(n) = \sum f(i)f(n - i - 1)$$

这是卡特兰数的递推式，答案就是

$$C(n) = \dfrac{\dbinom{2n}{n}}{n + 1}$$

特殊二叉树计数

CF438E The Child and Binary Tree

给定集合 $S$，每个节点权值需要 $\in S$。二叉树的权值定义为其所有节点的权值和。求权值为 $m$ 的二叉树总数。

发现是上一道题的强化版。普通二叉树计数是这道题 $S = \{1\}, m = n$ 的弱化版。

不妨设 $[x ^ n]f(x)$ 表示总和为 $n$ 的满足条件的二叉树个数，$g(x) = \sum [i \in S] x ^ i$，则有

$$f(x) = g(x) \times f(x) \times f(x) + 1$$

其意义为：左子树方案为 $f$，右子树方案为 $f$，本身方案为 $g$，加上空树。

解二次方程得到

$$f(x) = \dfrac{1 + \sqrt{1 - 4g(x)}}{2g(x)}$$

上多项式就可以了。如果嫌麻烦可以分子有理化一下。

竞赛图三元环计数

见 CF1264E Beautiful League

考虑容斥。如果是无向完全图，则三元环个数显然是 $\dbinom{n}{3}$。减去不合法的方案即可。

不合法的方案就是从 $u$ 出发的两条同向边。所以总方案即为

$$\dbinom{n}{3} - \sum_u \dbinom{d_u}{2}$$

球盒问题

$\texttt{Update on 2024/2/29}$：对某些进行了生成函数的理解。

若干个小球放进若干个盒子的方案计数。按照盒子 / 小球的限制分为

• 小球有标号 / 无标号

• 盒子有标号 / 无标号

• 每个盒子至多放一个 / 至少放一个 / 无限制

共有 $2 \times 2 \times 3 = 12$ 种选法。故称 $12$ 球盒（$12$ 重计数法）。

只能掌握比较简单的。比较困难的无法掌握。

小球有标号，盒子有标号，无限制

每个小球可以在 $m$ 个盒子中选择。所以答案为 $m \times m \cdots \times m = m ^ n$。

生成函数理解：由于小球和盒子都不相同，因此都考虑其 $\mathbf{EGF}$。盒子的 $\mathbf{EGF}$ 为 $e ^ {x}$，则答案为

$$\left[\dfrac{x ^ n}{n !}\right] e ^ {mx} = m ^ n$$

小球有标号，盒子有标号，每个盒子至少放一个

考虑容斥。强制有 $i$ 个盒子里没有球，那么 $n$ 个球要放进剩下 $m - i$ 个盒子里，方案数为 $(m - i) ^ n$。由于盒子有标号，所以还要乘以一个 $\binom{m}{i}$。因此总方案数就是：

$$\sum \limits_{i = 0}^{m} (-1) ^ i \binom{m}{i} (m - i) ^ n$$

生成函数理解：每个盒子的 $\mathbf{EGF}$ 为 $e ^ x - 1$，表示抠掉选 $0$ 个的方案。答案即为

$$\left[\dfrac{x ^ n}{n !}\right] (e ^ x - 1) ^ m$$

使用二项式定理展开，可以得到：

$$\left[\dfrac{x ^ n}{n !}\right] (e ^ x - 1) ^ m = \left[\dfrac{x ^ n}{n !}\right] \sum_{i = 0}^{m} \dbinom{m}{i} e ^ {ix} (-1) ^ {m - i}\\=\left[\dfrac{x ^ n}{n !}\right]\sum_{i = 0}^{m} \dbinom{m}{i} i ^ {n} (-1) ^ {m - i}$$

小球有标号，盒子有标号，每个盒子至多放一个

如果 $n > m$ 肯定无解。假设 $n \le m$，那么有 $m - n$ 个盒子是空的。选出这 $m - n$ 个盒子，方案数为 $\binom{m}{m - n}$。由于小球有标号，所以还要乘以小球的排列数。答案即为：

$$n! \binom{m}{m - n} = n! \binom{m}{n} = m ^ {\underline{n}}$$

生成函数理解：每个盒子生成函数为 $1 + x$，表示选 $0 / 1$ 个。答案即为：

$$\left[\dfrac{x ^ n}{n !}\right] (1 + x) ^ m = m ^ {\underline{n}}$$

小球无标号，盒子有标号，每个盒子至少放一个

插板法。将 $n$ 个小球排成一排，在 $n - 1$ 个空里面插入 $m - 1$ 个板子，分成 $m$ 份。答案即为

$$\binom{n - 1}{m - 1}$$

生成函数理解：盒子的生成函数为 $\dfrac{x}{1 - x}$。这是由于每个盒子放 $1 \sim + \infty$ 都有一种方案，其生成函数为 $\dfrac{1}{1 - x}$。但是去掉不放小球的方案，即为 $\dfrac{1}{1 - x} - 1 = \dfrac{x}{1 - x}$。所求即为

$$[x ^ n] \left(\dfrac{x}{1 - x}\right) ^ m = [x ^ n] \dfrac{x ^ m}{(1 - x) ^ m} = \dbinom{n - 1}{m - 1}$$

小球无标号，盒子有标号，无限制

插板法变形。将 $n$ 个小球排成一排，在后面再加入 $m$ 个小球，现在小球总数为 $n + m$。将 $m - 1$ 个板子插到 $n + m - 1$ 个空里，将小球分成 $m$ 份。分完之后，再从每一组里抽走一个小球，即可将每个盒子至少放一个转化为每个盒子里放 $\ge 0$ 个。总方案数即为：

$$\binom{n + m - 1}{m - 1}$$

生成函数理解：每个盒子的 $\mathbf{OGF}$ 为 $\dfrac{1}{1 - x}$。

$$[x ^ n] \left(\dfrac{1}{1 - x}\right) ^ m = \dfrac{1}{(m - 1)!} \times (n + m - 1) ^ {\underline{m - 1}} = \dbinom{m +n - 1}{m - 1}$$

注：这里很有可能是不对的。

小球无标号，盒子有标号，每个盒子至多放一个

思路和 小球有标号，盒子有标号，每个盒子至多放一个 类似。如果 $n > m$ 无解。然后从 $m$ 个盒子里选出 $n$ 个非空盒子即可。这里由于小球无标号，所以不需要乘以 $n!$。答案即为

$$\binom{m}{n}$$

小球有标号，盒子无标号，无限制

就是 第二类斯特林数。

令 ${n \brace m}$ 表示 $n$ 个有标号小球放进 $m$ 个盒子（盒子非空）的方案数，则有递推

$${n \brace m} = {n - 1 \brace m - 1} + m \times {n - 1 \brace m}$$

对于该式的理解：第 $n$ 个小球单独放一个盒子，加上和其他 $n - 1$ 个小球放一个盒子。

可以做到 $O(n ^ 2)$ 的递推。多项式做法已经不想懂了。

对于该题，答案即为

$$\sum_{i \le m} {n \brace i}$$

小球有标号，盒子无标号，每个盒子至多放一个

能放下就是 $1$，否则就是 $0$。

小球有标号，盒子无标号，每个盒子至少放一个

和第二类斯特林数定义相同。方案即为

$${n \brace m}$$

小球无标号，盒子无标号，每个格子至多放一个

能放下就是 $1$，否则就是 $0$。

小球无标号，盒子无标号，无限制

定义“划分数” $P(n, m)$，表示将 $n$ 划分成 $m$ 个非负整数的方案数。则有

$$P(n, m) = P(n - m, m) + P(n, m - 1)$$

对于这个式子的理解：显然，对于划分出来的所有数都为整数的情况，将他们全部减一，可以建立到 $P(n - m, m)$ 的双射。对于有 $0$ 的情况，可以看做在后面加了一个零进去，方案数为 $P(n, m - 1)$，加入多个零可以通过这个递归定义。

显然可以多项式，但是我已经不想学了。所以这是一个 $O(n ^ 2)$ 的算法。

小球无标号，盒子无标号，每个盒子至少放一个

将每个盒子里先钦定一个球，然后就是上一问的做法。方案数即为

$$P(n - m, m)$$

其他计数

错排数

对于一个排列 $p$，若满足 $\forall i \le n, p_i \ne i$，则称 $p$ 为长度为 $n$ 的一个错排。

设 $D_n$ 表示长度为 $n$ 的错排的个数。有递推式：

$$D_n = (n - 1)(D_{n - 1} + D_{n - 2})$$

对这个递推式的解释：考虑第 $n$ 个数放在那里。显然不能放在位置 $n$。假设放在了位置 $i$，则位置 $i$ 的数有两种选择：放在 $n$ 和不放在 $n$。对于放在 $n$，剩下的方案数就是 $D_{n - 2}$，对于不放在 $n$，剩下的方案就是 $D_{n - 1}$。枚举 $i$ 有 $n - 1$ 中选择。故有上式。

部分错排数

对于长度为 $n$ 的，有 $m$ 个数错排的排列进行计数。

首先选出 $m$ 个错排的数，再乘上错排数即可。方案数即为

$$\dbinom{n}{m} D_{m}$$

卡特兰数

上文中二叉树的计数使用了卡特兰数。其符号一般记做 $C(n)$。

卡特兰数有递推式：

$$C(n) = \sum_{i < n} C(i)C(n - i - 1)$$

通过生成函数等方法，我们可以求出他的另外两个表达式。这两种表达式允许 $O(1)$ 地计算其值。

• $C(n) = \dfrac{\dbinom{2n}{n}}{n + 1}$

• $C(n) = \dbinom{2n}{n} - \dbinom{2n}{n - 1}$

卡特兰数最典型的模型是这样的：在 $n \times n$ 的网格图中，从原点出发到 $(n, n)$ 点，不经过直线 $y = x$ 的路径数目。其他问题大多可以转化为这个模型。

卡特兰数典型问题：

• 某些网格路径计数

• 合法括号计数

• 二叉树计数

• 多边形三角形划分

第一类斯特林数

将 $n$ 个不同元素划分为 $m$ 个圆排列的方案数，记做 $\Large{n \brack m}$。

考虑递推求第一类斯特林数。有递推式：

$${n \brack m} = {n - 1 \brack m - 1} + (n - 1) {n - 1 \brack m}$$

对该公式的理解：第 $n$ 个元素有两种放法：自己单独成为一个圆排列或者与前面的元素共同构成圆排列，这分别对应上式中的两项。

read(n, m); S[0][0] = 1;
rep(i, 1, n) rep(j, 1, m)
    S[i][j] = (S[i - 1][j - 1] + (i - 1) * S[i - 1][j] % mod) % mod;
printf("%lld\n", S[n][m]); return 0;

第二类斯特林数

在 $12$ 重计数法中有提到。其定义为：将 $n$ 个不同元素划分成 $m$ 个非空集合的方案数。递推式为：

$${n \brace m} = {n - 1 \brace m - 1} + m \times {n - 1 \brace m}$$

其理解可以查阅上文球盒问题，小球有标号，盒子无标号部分。

read(n, k); S[0][0] = 1;
rep(i, 1, n) rep(j, 1, k)
    S[i][j] = (S[i - 1][j - 1] + j * S[i - 1][j] % mod) % mod;
printf("%lld\n", S[n][k]); return 0;

贝尔数

记 $B(n)$ 表示将 $n$ 个不同元素划分成若干个非空子集的方案数。

很显然的，我们已经有了一个 $O(n ^ 2)$ 的递推式。根据第二类斯特林数，我们只需要将斯特林数行求和即可。故有

$$B(n) = \sum_{k \le n} {n \brace k}$$

下面介绍另一个递推公式：

$$B(n + 1) = \sum_{k \le n} \binom{n}{k} B(k)$$

对于这个公式的理解：对于第 $n + 1$ 个数，如果其单独被分到一类，剩下 $n$ 个，则方案数为 $\dbinom{n}{n} B(n)$。如果和某一个分到一个集合，则剩下 $n - 1$ 个，方案数为 $\dbinom{n}{n - 1} B(n - 1)$。以此类推。

B[0] = 1;
rep(i, 1, n) rep(k, 0, i - 1) (B[i] += B[k] * C(i - 1, k) % mod) %= mod;

不同计数常见值

省选临近，最重要的事情莫过于学会各种乱搞技巧。

对于计数题，最常见的方法是打表 + 瞎几把凑系数。所以能够通过表观察出系数是很重要的能力。

下面给出一些常见系数的表：

• 第一类斯特林数

$$\begin{matrix} & \color{red}0 & \color{red}1 & \color{red}2 & \color{red}3 & \color{red}4 & \color{red}5 \\\\ \color{red}0 & 1 & \\ \color{red}1 & 0 & 1 & \\ \color{red}2 & 0 & 1 & 1 & \\ \color{red}3 & 0 & 2 & 3 & 1 & \\ \color{red}4 & 0 & 6 & 11 & 6 & 1 & \\ \color{red}5 & 0 & 24 & 50 & 35 & 10 & 1 & \\ \end{matrix}$$

• 第二类斯特林数

$$\begin{matrix} & \color{red}0 & \color{red}1 & \color{red}2 & \color{red}3 & \color{red}4 & \color{red}5 \\\\ \color{red}0 & 1 & \\ \color{red}1 & 0 & 1 & \\ \color{red}2 & 0 & 1 & 1 & \\ \color{red}3 & 0 & 1 & 3 & 1 & \\ \color{red}4 & 0 & 1 & 7 & 6 & 1 & \\ \color{red}5 & 0 & 1 & 15 & 25 & 10 & 1 & \\ \end{matrix}$$

• 卡特兰数

$$\begin{matrix} \color{red}0 & \color{red}1 & \color{red}2 & \color{red}3 & \color{red}4 & \color{red}5 & \color{red}6\\ 1 & 1 & 2 & 5 & 14 & 42 & 132 \end{matrix}$$

• 错排数

$$\begin{matrix} \color{red}0 & \color{red}1 & \color{red}2 & \color{red}3 & \color{red}4 & \color{red}5 & \color{red}6\\ 0 & 0 & 1 & 2 & 9 & 44 & 265 \end{matrix}$$

• 划分数

$$\begin{matrix} & \color{red}0 & \color{red}1 & \color{red}2 & \color{red}3 & \color{red}4 & \color{red}5 \\ \color{red}0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \color{red}1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \color{red}2 & 0 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ \color{red}3 & 0 & 1 & 2 & 3 & 3 & 3 \\ \color{red}4 & 0 & 1 & 3 & 4 & 5 & 5 \\ \color{red}5 & 0 & 1 & 3 & 5 & 6 & 7 \\ \end{matrix}$$

• 贝尔数

$$\begin{matrix} \color{red}0 & \color{red}1 & \color{red}2 & \color{red}3 & \color{red}4 & \color{red}5 & \color{red}6 & \\ 1 & 1 & 2 & 5 & 15 & 52 & 203 & \end{matrix}$$