一次线性方程组 高斯消元笔记

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高斯消元原理

高斯消元用来解如下形式的方程组：

$$\begin{cases} a_{1, 1} x_1 + a_{1, 2} x_2 + \cdots + a_{1, n} x_n = b_1 \\ a_{2, 1} x_1 + a_{2, 2} x_2 + \cdots + a_{2, n} x_n = b_2 \\ \cdots \\ a_{n,1} x_1 + a_{n, 2} x_2 + \cdots + a_{n, n} x_n = b_n \end{cases}$$

首先将所有系数写成系数矩阵：

$$\begin{bmatrix} a_{1, 1} & a_{1, 2} & \cdots & a_{1, n} & b_{1}\\ a_{2, 1} & a_{2, 2} & \cdots & a_{2, n} & b_{2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ a_{n, 1} & a_{n, 2} & \cdots & a_{n, n} & b_{n} \end{bmatrix}$$

接下来可以进行初等行列变换，将矩阵消成下三角矩阵。类似这样：

$$\begin{bmatrix} a'_{1, 1} & a'_{1, 2} & \cdots & a'_{1, n} & b'_{1}\\ 0 & a'_{2, 2} & \cdots & a'_{2, n} & b'_{2}\\ 0 & 0 & \cdots & a'_{3, n} & b'_{3}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & a'_{n, n} & b'_{n} \end{bmatrix}$$

然后最后一行就表示 $a_{n, n} x_n = a_{n, n + 1}$，可以解出 $x_n$。

然后往回带，解出 $x_{n - 1}$，以此类推即可。时间复杂度 $O(n ^ 3)$。

void gauss() {
	rep(i, 1, n) {
		rep(j, i, n) if (fabs(a[j][i]) > eps) {
			swap(a[j], a[i]); break;
		} if (fabs(a[i][i]) <= eps) continue;
		rep(j, i + 1, n) {
			if (fabs(a[j][i]) <= eps) continue;
			db inv = (db)a[j][i] / a[i][i];
			rep(k, i, n + 1)
				a[j][k] -= inv * a[i][k];
		}
	}
	for (int i = n; i; i -- ) {
		f[i] = a[i][n + 1] / a[i][i];
		for (int j = i - 1; j; j -- )
			a[j][n + 1] -= a[j][i] * f[i];
	}
}

高斯消元应用

• 解线性方程组

这个不用我说了吧。。。

• 在 $\text{dp}$ 中用于消元

这个用处非常大。举个栗子：P3232 [HNOI2013] 游走

题意：给定 $n$ 点 $m$ 边无向简单图。要求给每条边重新编号 $1 \sim m$，使得每条边编号不同且从 $1$ 到 $n$ 经过路径的权值和期望尽可能小。

$n \le 500, m \le 125000$。

发现边数很多，所以从点数入手。设 $f_i$ 表示第 $i$ 个点被经过的期望次数，那么有：

$$\begin{cases} f_1 = \sum \limits_{(1, v) \in E, v \ne n}^{} \dfrac{f_v}{deg_v} + 1 \\ f_u = \sum \limits_{(u, v) \in E, v \ne n}^{} \dfrac{f_v}{deg_v} + 1 (u \ne 1)\\ \end{cases}$$

当然，$n$ 号点被我们排除在外，因为到了 $n$ 就停止了。

然后发现，上面的柿子形成了一个 $n - 1$ 元方程。用高斯消元解方程就可以得到 $f_u$。

然后可以得到每条边被经过的期望次数：$g_{(u, v)} = \dfrac{f_u}{deg_u} + \dfrac{f_v}{deg_v}$。根据边被经过的期望次数贪心赋权即可。

其他用高斯消元求解 $dp$ 的例题：P4321 随机漫游

• 矩阵求逆

矩阵 $A$ 的逆矩阵定义为 $A^{-1}$，满足 $A^{-1} \times A = I$ 且 $A ^ {-1} \times A = I$。其中 $I$ 表示单位矩阵。

求法：将原矩阵 $A$ 右面拼上一个单位矩阵 $I$。然后对左边一半也就是 $A$ 做初等行列变换消成单位矩阵，同时对右边做左边同样的操作（左边行加右边也加，左边同乘右边也同乘）。最后得到的右半边就是 $A ^ {-1}$。

证明真的不会/kk

int gauss() {
	rep(i, 1, n) {
		rep(j, i, n)
			if (a[j][i] != 0) {
				swap(a[i], a[j]); break;
			}
		if (a[i][i] == 0) return 0;
		rep(j, i + 1, n) {
			if (a[j][i] == 0) continue;
			int inv = a[j][i] * qpow(a[i][i]) % mod;
			rep(k, i, 2 * n) a[j][k] -= inv * a[i][k] % mod,
				a[j][k] = (a[j][k] % mod + mod) % mod;
		}
	}
	rep(i, 1, n) {
		int inv = qpow(a[i][i]);
		rep(j, 1, 2 * n) a[i][j] = a[i][j] * inv % mod;
	}
	dep(i, n, 1) {
		rep(j, 1, i - 1) {
			int inv = a[j][i];
			rep(k, 1, 2 * n) a[j][k] -= a[i][k] * inv % mod,
				a[j][k] = (a[j][k] % mod + mod) % mod;
		}
	} return 1;
}
signed main() {
	read(n); int B = (10 * n + 5) * sizeof(LL);
	rep(i, 0, n + 1) a[i] = (LL*)malloc(B);
	rep(i, 1, n) rep(j, 1, n) read(a[i][j]);
	rep(i, 1, n) a[i][i + n] = 1; int s = gauss();
	if (!s) return puts("No Solution"), 0;
	for (int i = 1; i <= n; i ++ , pc('\n'))
		rep(j, 1, n) write(' ', a[i][j + n]);
	return 0;
}