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遗传算法超详解(全网最详细)

浅谈遗传算法

由于网上遗传算法的博客要么是例题不足,要么是过于工程化,所以准备写一篇更加亲民的博客。篇幅不长,深入浅出。由于笔者能力有限,可能出现部分错误。

什么是遗传算法

就不从百度上往下搬了。

遗传算法,又称为 \(\text{Genetic algorithm(GA)}\)。其主要思想就是模拟生物的遗传与变异。它的用途非常广泛,可以用于加速某些求最大或者最小值的算法。

特别提醒,遗传算法是一个随机算法,会有一定的错误概率。

遗传算法前置知识

首先先来补充一些生物知识:

每个生物都有许许多多的染色体,这些染色体呈棒状。每个染色体主要由双螺旋状的 \(\text{DNA}\) 和蛋白质构成。每条 \(\texttt{DNA}\) 上都有许多基因。放个图来理解一下。

染色体和基因

大概不需要过多解释,中学生物都学过。将 个体,染色体,基因 范围由大到小排序为 :

个体(Individual) > 染色体(chromosome) > 基因(gene)


遗传算法模拟了自然选择的过程。那些适应环境的个体能够存活下来并且繁殖后代。那些不适应环境的个体将被淘汰。换言之,如果我们对每个个体都有一个适应度评分(用来评价其是否适应环境),那么对于适应度高的物体来说,将具有更高的繁殖和生存的机会

另外,为了保持种族的稳定性,我们会将父代的基因传递下去。


遗传算法基础

遗传算法基于一些不证自明的理论依据:

  1. 种群中的个体争夺资源和交配。
  2. 那些成功的(最适合的)个体交配以创造比其他人更多的后代。
  3. 来自 “最适” 父母的基因在整个世代中传播,即有时父母创造的后代比父母任何一方都好。
  4. 因此,每一代人都更适合他们的环境。

遗传算法基础概念

拿古代人类来举例子:

  • 个体(\(\text{Individual}\)):每个生物。即每个古人类个体。
  • 种群(\(\text{population}\)):一个系统里所有个体的总称。比如一个部落。
  • 种群个体数(\(\text{POPULATION}\)):一个系统里个体的数量。比如一个部落里的人数。种群个体数通常与生物多样性有关,即种群个体数过少可能导致过快收敛或早熟。
  • 染色体(\(\text{chromosom}\)):每个个体均携带,用来承载基因。比如一条人类染色体。
  • 基因(\(\text{Gene}\)):用来控制生物的性状(表现)。
  • 适应度(\(\text{fitness}\)):对某个生物是否适应环境的定量评分。比如对某个古人类是否强壮进行 \([1, 100]\) 的评分。
  • 迭代次数(\(\text{TIMES}\)):该生物种群繁衍的次数。比如古人类繁殖了 \(100\) 万年。你可以自己设置迭代次数。

一定要记住这些英文名字!!!,后面会经常用到

配图表示:

Describe Gene

图中,种群、染色体、基因都已经标注上了。种群个体数量为 \(3\),每个个体都是染色体 \(+\) 对应的适应度。

在算法中,我们对每个个体计算其染色体的适应度(\(\text{fitness}\))来决定它是否优秀。

小试牛刀

尝试构建一个名字叫做 \(\text{Individual}\) 的结构体,里面存储一个个体的信息。可以自己尝试先写一下。

参考答案:

struct Individual {
    string chromosome; // 染色体
    int fitness; // 个体的适应度
    Individual(string chromosome); // 初始化
    int calc_fitness(); // 计算适应度
    Individual mate() // 即交叉算子(CrossOver)。后面会讲到。
    Individual mutation() // 即变异算子(Mutation)。后面会讲到。
};

Individual(string chromosome) {
    this -> chromosome = chromosome;
    this -> fitness = calc_fitness();
}

遗传算法算子

1.交叉算子(\(\text{CrossOver}\)

也有将该算子称为 \(\text{mate}\) 的。我更倾向于第二种叫法,因为第二种字数更少。

交叉算子就是模拟父母双方交配过程。想一想人类交配时,每个基因会随机的来自父亲或者母亲。我们可以模拟这个过程。假设我们的染色体用 \(\text{string}\) 存储,可以实现下面的交配代码:

// par 代表母亲,chromosome 代表父亲(即本身)的染色体,par.chromosome 则代表母亲染色体。
Individual Individual::mate(Individual par) { // 交叉
	string child = ""; // 子代染色体
	int len = chromosome.size();
	for (int i = 0; i < len; i ++ ) {
		double p = random(0, 100) / 100; // 计算来自父母的概率
		if (p <= 0.5) child += chromosome[i]; // 一半概率来自父亲
		else child += par.chromosome[i]; // 另一半来自母亲
	}
	return Individual(child);
}

当然,你也可以思考一些其他的交叉思路,比如随机抽取某些段进行交换。如下图所示:

Different mates

(以上图片来自Genetic Algorithms

这种算法通常在二进制条件下更加实用。

2.变异算子(\(\text{mutation}\)

即低概率地随机地改变某个基因。这样可以有效避免程序陷入局部最优或者过慢收敛。例如:

一般来说,我们可以设计一个变异概率。变异率大概在 \(0.01 \sim 0.05\) 之间最优。变异率太高会导致收敛过慢,变异率太低则会导致陷入局部最优。

遗传算法策略

  • 精英保留策略

还是拿古人类举例。假设我们是上帝,我们想要古人类实现长久发展,最好的办法就是尽可能的将那些头脑敏捷,肢体强壮的个体保留下来,淘汰那些老弱病残的个体。

在程序中,我们将个体按照适应度排序,把适应度最好前 \(k \%\) 的保留下来,剩下的随机交配。通常,\(k\) 可以设成 \(1 \sim 20\)。设置太高则会局部最优,太低则会收敛过慢。也可以直接选定将前 \(k\) 个保留。

  • 概率保留策略

学名好像是 Stoffa改进方法,这不重要。总之,就是为了避免父母生出傻孩子浪费时间,把傻孩子(适应度低的后代)直接抛弃。

假设我们要求收敛到最低适应度,后代适应度为 \(y\),父代适应度为 \(x\),有 \(\Delta = y - x\)。若 \(\Delta < 0\),证明子代比父代更好,我们一定接受。对于 \(Delta > 0\),证明子代不如父代好,我们以一定概率接受。之所以要有一定概率接受,是为了避免出现局部最优解。

这个概率我们怎么来算呢?有一种方法给出了概率的计算函数:

\[P(\Delta) = e ^ { - \Delta / t} \]

其中 \(t\) 是我们设定的参数值,一般随着迭代次数增大而减小。如果 \(P(\Delta) > \operatorname{rand}(0, 1)\),那么我们就接受它。

为什么是 \(- \Delta\) 呢?因为 \(\Delta > 0\),我们要保证 \(e^x\) 小于 \(1\) 才能保证部分接受。因此要用 \(- \Delta\)

为什么要用 \(e ^ x\) 呢?我不知道,大概是因为它的积分等于原函数吧。。。

下面放一张遗传算法求最短哈密尔顿路径的收敛图像。其中绿色实线是加了概率函数的,蓝色虚线则没有加。可以看出,绿色实现收敛的比较快,侧面证明了 Stoffa改进方法 的正确性。

Stoffa 改进方法正确性

思考题

如果我们要求最大适应值,那么概率的计算函数应当怎么计算呢?

答案:\(P(\Delta) = e ^ {\Delta / t}, \Delta < 0\)


例题

例题 1 : 牛刀小试

给定一个目标字符串(\(\text{target}\)),目标是从相同长度的随机字符串开始生成目标字符串。

比如从 \(\texttt{114514QAQ}\) 生成 \(\texttt{123456789}\)

这里先讲一下适应度函数的构造方法:比较当前染色体与目标字符串之间不同的字符个数即为适应度。显然,适应度越低越好。

上面都已经讲过了,这里直接贴出代码:

全部代码:

请点这里

看一下输出结果:

Generation: 0  String : "'IalP?= VX_  Fitness : 10
Generation: 1  String : 9'ne;2.S JA{  Fitness : 9
Generation: 2  String :  kvT W 1j!t!  Fitness : 8
Generation: 3  String :  kvT W{1j!t!  Fitness : 8
Generation: 4  String :  'vT W 1j!t!  Fitness : 7
Generation: 5  String : Idve Y{vIqt!  Fitness : 6
Generation: 6  String : I=ve7r;t nt!  Fitness : 5
Generation: 7  String : I've W 1jit!  Fitness : 4
Generation: 8  String : I've W 1jit!  Fitness : 4
Generation: 9  String : I'vT W t it!  Fitness : 3
Generation: 10  String : I'vT W t it!  Fitness : 3
Generation: 11  String : I've W t it!  Fitness : 2
Generation: 12  String : I've g 1 it!  Fitness : 2
Generation: 13  String : I've g t it!  Fitness : 1
Generation: 14  String : I've g t it!  Fitness : 1
Generation : 15  String : I've got it!  Fitness : 0

怎么样,有没有感受到遗传算法的强大!

例题 2

P8687 [蓝桥杯 2019 省 A] 糖果

题目描述

糖果店的老板一共有 \(M\) 种口味的糖果出售。为了方便描述,我们将 \(M\) 种口味编号 \(1\)\(M\)

小明希望能品尝到所有口味的糖果。遗憾的是老板并不单独出售糖果,而是 \(K\) 颗一包整包出售。

幸好糖果包装上注明了其中 \(K\) 颗糖果的口味,所以小明可以在买之前就知道每包内的糖果口味。

给定 \(N\) 包糖果,请你计算小明最少买几包,就可以品尝到所有口味的糖果。


我知道可以用状压,但是这道题还可以用遗传!

考虑将品尝每包糖果的顺序作为染色体,适应度即为品尝过所有糖果需要购买的糖果包数的最小值。(这里指从头往后取)

注意,这里的适应度计算函数需要特别处理。由于染色体是个排列,我们直接交叉肯定会出现单个染色体内有许多基因重复。因此考虑“自交”,即用更高的变异概率代替双亲交配。

核心代码在这里:

#define POPULATION 1000
#define TIMES 10

using namespace std;

const int N = 110, M = 21;
int a[N][M], n, m, K, ans = 0x3f3f3f3f;

int random(int l, int r) {
    return rand() % (r - l + 1) + l;
}
struct Individual {
    vector<int> p;
    int fitness;
    Individual(vector<int> p);
    Individual mate();
    int calc_fitness();

    bool operator < (const Individual& tmp)const {
        return fitness < tmp.fitness;
    }
};

Individual::Individual(vector<int> P) {
    this -> p = P;
    this -> fitness = calc_fitness();
}
Individual Individual::mate() {
    vector<int> _p = this -> p;
    int P = random(0, 3);
    for (int i = 1; i <= P; i ++ ) {
        int pos1 = random(0, n - 1), pos2 = random(0, n - 1);
        swap(_p[pos1], _p[pos2]);
    }
    return _p;
}
int Individual::calc_fitness() {
    int state = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) {
        for (int j = 0; j < K; j ++ )
            state |= (1 << a[p[i]][j] - 1);
        if (state == (1 << m) - 1) return i + 1;
    }
    puts("-1"); exit(0);
}

int main() {
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &K);

    for (int i = 0; i < n; i ++ )
        for (int j = 0; j < K; j ++ )
            scanf("%d", &a[i][j]);

    vector<Individual> population; vector<int> P;
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) P.push_back(i);

    for (int i = 1; i <= POPULATION; i ++ ) {
        random_shuffle(P.begin(), P.end());
        population.emplace_back(Individual(P));
    }

    for (int i = 0; i < TIMES; i ++ ) {
        sort(population.begin(), population.end());
        ans = min(ans, population[0].fitness);
        vector<Individual> new_population;

        int s = (10 * POPULATION) / 100;
        for (int i = 0; i < s; i ++ )
            new_population.emplace_back(population[i]);
        s = POPULATION - s;
        for (int i = 0; i < s; i ++ ) {
            Individual p = population[random(0, 50)];
            new_population.emplace_back(p.mate());
        }
        population = new_population;
    }

    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

例题三

UVA A star not a tree

对于这道题来说,最重要的是设计一个适应度函数。显然地,我们可以将适应度函数设计为当前点到 \(n\) 个点的距离和。这样,适应度越小就越优秀。

在这道题里,染色体要设置成当前点的横纵坐标,这样怎么交配和变异呢?

首先先谈变异:我们可以将这个数写成二进制位,然后随机挑选一位取反。

对于交叉,我们可以使用原来的方法,也可以对于这个算法进行改进:为了避免答案精度过低,我们可以将父母双亲交配改成父代自交(也就是复制自己,随机变异几个点)产生后代。当然,我们会调高变异率。

代码如下,我加了部分注释:

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <ctime>
#define x first
#define y second
#define TIMES 9
#define POPULATION 300
#define LEN 20
using namespace std;

const int N = 110;

int n, T;
pair<double, double> a[N]; // 存储 n 个点

int random(int l, int r) { // 产生从 l 到 r 之间的随机整数
    return rand() % (r - l + 1) + l;
}

double dist(double x1, double y1, double x2, double y2) {
	double dx = x1 - x2;
	double dy = y1 - y2;
	return sqrt(dx * dx + dy * dy);
}

// 下面正式进入遗传算法
struct Individual { // 存储个体信息的结构体
    int x, y; // 个体的横纵坐标
    double fitness; // 适应度
    Individual(int x, int y);
    Individual mate(); // 交配
    double calc_fitness(); // 计算适应度

    bool operator < (const Individual& tmp)const {
        return fitness < tmp.fitness;
    }
};

Individual::Individual(int x, int y) {
    this -> x = x, this -> y = y;
    this -> fitness = calc_fitness();
}

Individual Individual::mate() {
    int chx = x, chy = y;
    int p1 = random(0, 3); // 将 x 随机变异三个二进制位
    for (int i = 1; i <= p1; i ++ ) {
        int p = random(0, LEN);
        if ((chx >> p) & 1) chx -= (1 << p);
        else chx += (1 << p);
    }
    int p2 = random(0, 3);
    for (int i = 1; i <= p2; i ++ ) {
        int p = random(0, LEN);
        if ((chy >> p) & 1) chy -= (1 << p);
        else chy += (1 << p);
    }
    return Individual(chx, chy);
}

double Individual::calc_fitness() {
    double ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        ans += dist(a[i].x, a[i].y, (double)x / 100, (double)y / 100);
    return ans;
}

int main() {
    scanf("%d", &T);
    
    while (T -- ) {
        scanf("%d", &n);
        for (int i = 1; i <= n; i ++ )
            scanf("%lf%lf", &a[i].x, &a[i].y);
        vector<Individual> population;
    
        for (int i = 0; i < POPULATION; i ++ ) {
            int x = random(0, 1000000);
            int y = random(0, 1000000);
            population.push_back(Individual(x, y));
        }
        
        for (int i = TIMES; i >= 1; i -- ) { // 这里的 i 被当做了 t
            sort(population.begin(), population.end());
            vector<Individual> new_population;
            int s = (10 * POPULATION) / 100;
            for (int i = 0; i < s; i ++ ) // 保留精英种子
                new_population.push_back(population[i]);
            s = POPULATION - s;
            while (new_population.size() < POPULATION) {
                int len = population.size();
                Individual p = population[random(0, 50)];
                Individual q = p.mate();
                double delta = q.fitness - p.fitness;
                if (delta < 0) new_population.emplace_back(q);
                else if ((double)exp(-delta / i) / 2.0 > (double)rand() / RAND_MAX)
                    new_population.emplace_back(q); // 概率接受
            }
            population = new_population;
        }
        printf("%.0lf", population[0].fitness); if (T) putchar('\n');
        getchar();
    }
    return 0;
}
  • Q:为什么这里要存储二十位二进制呢?
  • A:由于坐标范围在 \(0\)\(10 ^ 4\) 之间,而且我们要精确到两位小数。因此要将两位小数变成整数存储。这样,我们就要存储 \([0, 10 ^ 6]\) 之间的整数。将这个整数除以 \(100\) 就可以解码变为原来的坐标。由于 \(\log _2 10^6\) 大约等于 \(20\),我们就将二进制位的长度设成这个长度。

例题 4

P5544 [JSOI2016] 炸弹攻击1

这是不多的遗传算法能吊打模拟退火的题。

还是分为三部分来解决这道题:

  • 染色体设计:显然,我们需要存储当前圆的圆心坐标、半径。

  • 适应度函数(\(\text{calc\_fitness}\)):对于一个个体,其能炸毁的敌人越多,其适应度(\(\text{fitness}\))越大,该个体越优。这部分显然可以 \(O(m)\) 实现。

  • 交配函数(\(\text{mate}\)):可以随机两个向量 \(\overrightarrow{dx}, \overrightarrow{dy}\),然后将圆心向这两个向量方向平移即可。

写完以后交上去,你会惊喜的发现,这个算法收敛速度并不符合预期。因此需要一些奇特优化:

  1. 普通优化:玄学调参们。

  2. 奇技淫巧:我们发现对于位移向量 \(\overrightarrow{dx}, \overrightarrow{dy}\),如果直接随机两个,可能导致变异过大,无法收敛。因此,我们参考模拟退火,设计一个温度 \(T\)。每次随机时,向量模长都在 \([-T, T]\) 范围内随机,而 \(T\) 随着迭代次数的增加而递减。这样,就可以增加收敛速度了。

事实证明,这个优化力度及其大。轻松跑到了最优解。

代码如下:

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <ctime>
#define x first
#define y second
#define db double
#define TIMES 30
#define POPULATION 300
using namespace std;

const int N = 10010;
const double eps = 1e-6;
int n, m; db R, lim = 1e4;

struct Enemies {
	db x, y;
}Enemy[N];
struct Buildings {
	db x, y, r;
}Build[N];
int random(int l, int r) { // 产生从 l 到 r 之间的随机整数
    return rand() % (r - l + 1) + l;
}
double rand_db(double l, double r) {
    return (double)rand() / RAND_MAX * (r - l) + l;
}
db dist(db x1, db y1, db x2, db y2) {
    db dx = x1 - x2;
    db dy = y1 - y2;
    return sqrt(dx * dx + dy * dy);
}

// 下面正式进入遗传算法
struct Individual { // 存储个体信息的结构体
    db x, y, r; // 个体的横纵坐标和半径 
    int fitness; // 适应度
    db calc_r(db x, db y);
    Individual(db x, db y);
    Individual mate(); // 交配
    int calc_fitness(); // 计算适应度

    bool operator < (const Individual& tmp)const {
        return fitness > tmp.fitness;
    }
};

db Individual::calc_r(db x, db y) {
	double r = R;
	for (int i = 1; i <= n; i ++ )
		r = min(r, dist(x, y, Build[i].x, Build[i].y) - Build[i].r);
	r = max(r, 0.0);
	return r;
}

Individual::Individual(db x, db y) {
    this -> x = x, this -> y = y, this -> r = calc_r(x, y);
    this -> fitness = calc_fitness();
}

Individual Individual::mate() {
    db chx = x, chy = y;
	db dx = rand_db(0, lim), dy = rand_db(0, lim);
	int opx = rand() & 1, opy = rand() & 1;
	chx += dx * (opx ? 1 : -1), chy += dy * (opy ? 1 : -1);
    return Individual(chx, chy);
}

int Individual::calc_fitness() {
    int cnt = 0;
    for (int i = 1; i <= m; i ++ )
    	if (dist(this -> x, this -> y, Enemy[i].x, Enemy[i].y) - this -> r <= eps)
    		cnt ++ ; return cnt;
}

int main() {
	srand(998244353);
    scanf("%d%d%lf", &n, &m, &R);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        scanf("%lf%lf%lf", &Build[i].x, &Build[i].y, &Build[i].r);
    for (int i = 1; i <= m; i ++ )
    	scanf("%lf%lf", &Enemy[i].x, &Enemy[i].y);
    db sx = 0.0, sy = 0.0;
    for (int i = 1; i <= m; i ++ )
    	sx += Enemy[i].x, sy += Enemy[i].y;
    sx = (db)sx / m, sy = (db)sy / m;
    vector<Individual> population;
	
    for (int i = 0; i < POPULATION; i ++ ) {
        db x = rand_db(0.0, sx * 5.0) * (rand() & 1 ? 1 : -1);
        db y = rand_db(0.0, sy * 5.0) * (rand() & 1 ? 1 : -1);
        population.push_back(Individual(x, y));
    }

    for (int i = TIMES; i >= 1; i -- ) { // 这里的 i 被当做了 t
        sort(population.begin(), population.end());
        vector<Individual> new_population;
        int s = (10 * POPULATION) / 100;
        for (int i = 0; i < s; i ++ ) // 保留精英种子
            new_population.push_back(population[i]);
        s = POPULATION - s;
        while (new_population.size() < POPULATION) {
            int len = population.size();
            Individual p = population[random(0, 100)];
            Individual q = p.mate();
            double delta = q.fitness - p.fitness;
            if (delta < 0) new_population.emplace_back(q);
            else if ((double)exp(delta / i) > (double)rand() / RAND_MAX)
                new_population.emplace_back(q); // 概率接受
        }
        population = new_population; lim *= 0.75;
    }
    printf("%d\n", population[0].fitness);
    return 0;
}

例题 5

P4035 [JSOI2008] 球形空间产生器

给定 \(n\) 维球体上的 \(n + 1\) 个点。求球心坐标。

  • 染色体设计(\(\text{chromosome}\)):圆心坐标即为染色体。

  • 适应度设计(\(\text{fitness}\)):这一点需要思考一下。由于球心到球上所有点距离相等,所以可以设计使用球心到所有球上点距离的方差来表示适应度。期望方差为 \(0\)

  • 交配函数(\(\text{mate}\)):与上题方式基本相同。同时需要使用上文所说的优化技巧,即使用温度 \(T\) 来控制变异的大小。

当参数分别为:

  • 种群大小(\(\text{POPULATION}\))为 \(400\)

  • 迭代次数(\(\text{TIMES}\)) 为 \(2000\)

  • 初始温度(\(\text{Temprature}\))为 \(10000\)

  • 步长为 \(0.99\)

即可通过本题。

其他例题

基本上模拟退火能做的遗传都能搞。

物竞天择,适者生存。这是每个世界都适用的生存法则。

本文参考资料 Genetic Algorithms

后记

1.关于遗传算法和模拟退火算法的比较

遗传算法的缺点就是收敛慢。对于求解最短哈密尔顿回路问题,遗传算法和模拟退火算法的表现如下(数据中 \(n = 70\)):

其中蓝色虚线是遗传算法,绿色实线是模拟退火算法。

可以看出,模拟退火算法收敛的很快,而遗传算法表现略逊。

实际上,在大部分问题上模拟退火表现都比遗传算法优秀得多。

但是遗传算法在某些问题上还是有实践意义。对于某些数据量较大的情况,遗传算法更具有优势。还是拿刚才的求解哈密尔顿回路的问题举例。对于同一组数据,虽然模拟退火收敛较快而且在短时间内效果极好,但是在后期明显不如遗传算法。

2.对于 Stoffa 改进方法的概率接受

还是拿收敛到最低适应度举例。假设后代适应度为 \(y\),父代适应度为 \(x\),有 \(\Delta = y - x\)。若 \(\Delta < 0\),证明子代比父代更好,我们一定接受。对于 \(\Delta > 0\),证明子代不如父代好,我们以一定概率接受。上文给出了概率计算函数:

\[P(\Delta) = e ^ { - \Delta / t} \]

其中 \(t\) 是我们设定的参数值,一般随着迭代次数增大而减小。如果 \(P(\Delta) > \operatorname{rand}(0, 1)\),那么我们就接受它。

但是如果我们考虑一个极端情况:不妨先假设 \(t\) 此时等于 \(1\),那么\(P(\Delta) = e ^{- \Delta}\)。在假设 \(\Delta > 0\) 且足够小(趋于 \(0\)),那么我们接受这个解的概率就非常大。然而在我们的直觉中,这个概率应该小于 \(50 \%\) 而且趋于 \(50 \%\)。因此这就是遗传算法的另一个改进方法,即将概率计算函数改为:

\[P(\Delta) = \dfrac{1}{2} e ^ {- \Delta / t} \]

其中这个 \(\dfrac{1}{2}\) 可以自主调节的。目的就是使得较劣解不会被接受。

这种方法在模拟退火上同样可以应用,实测具有较好的优化效果。在其他网站上针对题目 UVA10228 A Star not a Tree? 进行测试,未进行优化需要跑 \(12\) 遍退火,然而优化后只需要跑 \(2\) 次。

下面是对于求解 \(n = 18\) 的哈密尔顿路径时的优化效果:

其中蓝色虚线使用的是没有改进的接受函数,而绿线使用的是改进后的接受函数。可以看出,的确存在一定的优化效果。

posted @ 2023-04-02 19:55  Link-Cut-Y  阅读(8540)  评论(8编辑  收藏  举报