关于 x^n + 1 形式因式分解的讨论

昨晚一个同学问我立方和分解,突发奇想想到了这个问题。看到网上关于这个问题的许多解答都不是很准确。在此修正一下。

引理一:立方和公式

对于形如 a3+b3 的式子,有因式分解:

a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)

式子两边展开即可证明。

现在考虑 x3+1 的因式分解,套用立方和公式可知,a=x,b=1。因此因式分解可以表示为:

x3+1=(x+1)(x2x+1)

接下来将 x 的指数扩展到 n(nZ+)

考虑可以将 xn+1 分解成 (xk+1)(xnkxn2k+xn3kxn4k++1),其中 kZ+k|n。显然,若 k=1,对于所有的 n 都满足 k|n

因此可以将 xn+1 分解为 (x+1)(xn1xn2+xn3xn4++1)。然而由于 n1 不一定是奇数,所以最后一位可能出现 ±1 两种情况。其中 1 的情况不成立。

引理二:对于 xn+1nZ+n1(mod2)(即 n 为奇数),都有一下因式分解形式:

xn+1=(x+1)(xn1xn2+xn3xn4++1)

当然,刚才已经解释过一部分了。

(x+1)(xn1xn2+xn3xn4++1)=(x+1)i=0n1(1)ixi=xi=0n1(1)ixi+i=0n1(1)ixi=i=0n1(1)ixi+1+i=0n1(1)ixi=xn+1

显然,对于 n 为奇数的情况都有分解。然后有许多文章就断言对于偶数没有分解。这是完全错误的。考虑 n=6 的情况。x6+1=(x2)3+1。设 a=x3,可以对于 a3+1 因式分解。所以虽然 n=6 为偶数,仍然是可以分解的。

引理三:唯一分解定理:

对于任意大于 1 的正整数,都可以分解为 n=p1c1p2c2pkck,且表示方式唯一。(p 为不相等的质数。

对于 n=p1c1p2c2pkck(xn+1) 可以表示为 ((xp1c1)p2c2)pkck+1 的形式,如果 k2,必定有一个 p 为奇数。(因为只有二为偶质数)。那么它可以被分解。

用类似筛法的思想,我们可以发现,大部分 n 都可以因式分解,当且仅当 k=1p=2 时,原式没有因式分解。即:

n=2a,aZ+ 时,原式没有因式分解。当然,n 可以等于 2,4,8,16,32

对于最后的这种情况,并没有想过完整的证明,希望有人来补充。

最后来一个思考题:

对形如 2n1 的质数,我们称之为“梅森质数”。

对形如 2n+1 的质数,我们称之为“费马质数”。

费马质数的结论之一就是:一个数是费马质数的充分条件为 n 一定是 2 的整数次幂。

当然,这与 xn+1 的因式分解紧密相关。关于费马质数可以看这里 费马质数

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