昨晚一个同学问我立方和分解,突发奇想想到了这个问题。看到网上关于这个问题的许多解答都不是很准确。在此修正一下。
引理一:立方和公式
对于形如 a3+b3 的式子,有因式分解:
a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)
式子两边展开即可证明。
现在考虑 x3+1 的因式分解,套用立方和公式可知,a=x,b=1。因此因式分解可以表示为:
x3+1=(x+1)(x2−x+1)
接下来将 x 的指数扩展到 n(n∈Z+)。
考虑可以将 xn+1 分解成 (xk+1)(xn−k−xn−2k+xn−3k−xn−4k+⋯+1),其中 k∈Z+ 且 k|n。显然,若 k=1,对于所有的 n 都满足 k|n。
因此可以将 xn+1 分解为 (x+1)(xn−1−xn−2+xn−3−xn−4+⋯+1)。然而由于 n1 不一定是奇数,所以最后一位可能出现 ±1 两种情况。其中 −1 的情况不成立。
引理二:对于 xn+1,n∈Z+ 且 n≡1(mod2)(即 n 为奇数),都有一下因式分解形式:
xn+1=(x+1)(xn−1−xn−2+xn−3−xn−4+⋯+1)
当然,刚才已经解释过一部分了。
(x+1)(xn−1−xn−2+xn−3−xn−4+⋯+1)=(x+1)n−1∑i=0(−1)ixi=xn−1∑i=0(−1)ixi+n−1∑i=0(−1)ixi=n−1∑i=0(−1)ixi+1+n−1∑i=0(−1)ixi=xn+1
显然,对于 n 为奇数的情况都有分解。然后有许多文章就断言对于偶数没有分解。这是完全错误的。考虑 n=6 的情况。x6+1=(x2)3+1。设 a=x3,可以对于 a3+1 因式分解。所以虽然 n=6 为偶数,仍然是可以分解的。
引理三:唯一分解定理:
对于任意大于 1 的正整数,都可以分解为 n=pc11pc22⋯pckk,且表示方式唯一。(p 为不相等的质数。
对于 n=pc11pc22⋯pckk,(xn+1) 可以表示为 ((xpc11)pc22)⋯pckk+1 的形式,如果 k≥2,必定有一个 p 为奇数。(因为只有二为偶质数)。那么它可以被分解。
用类似筛法的思想,我们可以发现,大部分 n 都可以因式分解,当且仅当 k=1 且 p=2 时,原式没有因式分解。即:
n=2a,a∈Z+ 时,原式没有因式分解。当然,n 可以等于 2,4,8,16,32⋯
对于最后的这种情况,并没有想过完整的证明,希望有人来补充。
最后来一个思考题:
对形如 2n−1 的质数,我们称之为“梅森质数”。
对形如 2n+1 的质数,我们称之为“费马质数”。
费马质数的结论之一就是:一个数是费马质数的充分条件为 n 一定是 2 的整数次幂。
当然,这与 xn+1 的因式分解紧密相关。关于费马质数可以看这里 费马质数
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