浅谈整除分块

合集 - 数学(10)

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学莫反的时候，发现许多题都会用到一个小技巧，于是有了下面这篇博文~

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引入

有问题如下：求

$$\sum_{i = 1}^{n} \left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor$$

其中 $n \leq 10 ^ 9$

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考虑暴力做法枚举每一个 $i$ 并对 $\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor$ 求和，时间复杂度为 $O(n)$。

下面考虑优化。

对于一个数 $n$，将 $\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor$ 的值打表后发现，表中有大量重复元素，那么是否可以将“将相同的数依次相加”改为“相同数的个数乘以这个数”呢？答案是可以的。

如果我们将 $\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor$ 值相同的放在一个块里，那么会有如下结论：

结论1：块数小于等于 $\sqrt{n}$
结论2：每一块的右端点 $r$ 等于 $\left \lfloor\frac{n}{\left \lfloor \frac{n}{l} \right \rfloor} \right \rfloor$

证明不会。

因此可以保证复杂度控制在 $O(\sqrt{n})$ 左右。

例题：

Luogu P1403 [AHOI2005]约数研究

Luogu P2424 约数和