浅谈点双连通分量
本文章同步发表于本人 \(\texttt{luogu}\) 博客。
文章就点双连通分量进行讲解。
什么是割点
在一个无向联通图 \(G = (V, E)\) 中，若对于 \(x \in V\) ，从图中删去节点 \(x\) 及所有与 \(x\) 直接关联的边后， \(G\) 分裂成两个或两个以上不连通的子图，则称 \(x\) 为图 \(G\) 的割点。
换言之，割点就是指在图中删掉该点后，图变得不连通的点。
如下图，图中的点一就是一个割点。
什么是点双连通分量
点双联通分量是指在图 \(G\) 不含割点的极大子图。
在上面的图中，点 \(1, 2, 3\) 和点 \(1, 4, 5\) 构成的子图是原图中的两个点双联通分量。
注：一定要记住点双联通分量是极大的！！（不要像我一样认为图中任意两点和他们的连边都是一个点双）。
怎样求点双连通分量
如果没有学过有向图强连通分量的请右转 缩点
求点双联通分量的步骤如下：
-
找到一个割点。（步骤一）
-
割点和割点下面的还在栈里的就是一个点双联通分量。（步骤二）
下面我们对他们进行一个简单的感性理解（主要是不会严谨证明）
在 tarjan 算法中，我们使用了 \(dfn\) 和 \(low\) 数组，分别表示一个点的时间戳和这个点往下能搜索到的时间戳最小的点。
- 对于割点的证明（步骤一）
在无向图的双联通分量里，对于两个点 \(x, y\) （\(y\) 表示与 \(x\) 直接相连的一个点）。如果 \(low_y \ge dfn_x\)，就说明 \(y\) 无论怎样走也没办法走回到 \(x\) 了。（大家可以画一个搜索树来理解，这里不再赘述）。这样，点 \(y\) 和它的子树就相当于是一个封闭的系统了。这样，如果把点 \(x\) 删掉，下面的 \(y\) 和它的子树就孤立出来了，整个图变得不连通，因此 \(x\) 就是这个图的一个割点。代码如下：
if (low[j] >= dfn[u])
（好吧只有一行）
- 对于割点下即为点双连通分量的证明（步骤二）
反证法。
假设割点 \(x\) 下面的不是点双连通分量，则割点 \(x\) 下面的子树里，一定有一个割点 \(y\)（由点双连通分量的性质易得）。
易得 \(y\) 会比 \(x\) 后遍历到。那么在弹栈时，我们会先将点 \(y\) 从栈里弹出来。
因此点 \(x\) 下面没有割点。与假设矛盾。
证毕。
步骤二代码如下：
if (low[j] >= dfn[u]) {
cnt ++ ;
int y;
do {
y = stk[top -- ];
res[cnt].push_back(y);
} while (y != j);
res[cnt].push_back(u);
}
另外，还需要注意一下下面这些地方：
-
一个割点可能属于许多个点双连通分量。因此弹栈时不能直接弹出割点。
-
可能存在孤立点。孤立点也属于点双连通分量，需要特判。
-
数据存在自环（
好恶心）
完整代码如下：
// By --- Lcy
// Date --- 2022.07.14
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
const int N = 500010, M = 4000010;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int dfn[N], low[N], timestamp;
int n, m, stk[N], top, cnt;
vector<int> res[N];
void add(int a, int b)
{
e[ ++ idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx;
}
void tarjan(int u, int root)
{
dfn[u] = low[u] = ++ timestamp;
stk[ ++ top] = u;
if (u == root && !h[u]) {res[ ++ cnt].push_back(u); return; } // 对孤立点的特判
// 如果为搜索树的顶端且没有出边，则为一个孤立点
for (int i = h[u]; i; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (!dfn[j]) {
tarjan(j, root);
low[u] = min(low[u], low[j]);
if (low[j] >= dfn[u]) { // 判断是否为割点
cnt ++ ; // 割点下面必定有一个点双连通分量
int y;
do {
y = stk[top -- ];
res[cnt].push_back(y);
} while (y != j); // 注意是 y != j 而不是 x != j，因为我们不能把割点弹出来
res[cnt].push_back(u); // 最后别忘了把割点弹出来
}
}
else
low[u] = min(low[u], dfn[j]);
}
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
while (m -- )
{
int a, b;
scanf("%d%d", &a, &b);
if (a == b) continue; // 判掉自环
add(a, b), add(b, a);
}
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) // 图中可能存在多个连通块
if (!dfn[i])
tarjan(i, i);
printf("%d\n", cnt);
for (int i = 1; i <= cnt; i ++ ) {
printf("%d ", res[i].size());
for (int j : res[i])
printf("%d ", j);
puts("");
}
return 0;
}
完结撒花✿✿ヽ(°▽°)ノ✿
