笔记- - Link-Cut-Y

摘要：本文同步发表于我的洛谷博客。 1. 莫比乌斯函数设正整数

n

$n$ 的标准分解为

\sum_{i = 1}^{k} p_{i}^{c_{i}}

$\sum \limits_{i = 1}^{k} p_i^{c_i}$ 。莫比乌斯函数定义为 \[\mu(n) = \left\{\begin{matrix} 0 \qquad \exists i \in 阅读全文

posted @ 2023-06-19 17:27 Link-Cut-Y 阅读(41) 评论(0) 推荐(1) 编辑

欧拉定理 & 扩展欧拉定理笔记

摘要：欧拉函数欧拉函数定义为：

φ (n)

$\varphi(n)$ 表示

1 \sim n

$1 \sim n$ 中所有与

n

$n$ 互质的数的个数。关于欧拉函数有下面的性质和用途：欧拉函数是积性函数。可以通过这个性质求出他的公式。

f (p) = p - 1

$f(p) = p - 1$ 。很显然，比质数

p

$p$ 小的所有数都与他互质。阅读全文

posted @ 2023-12-23 08:54 Link-Cut-Y 阅读(33) 评论(0) 推荐(1) 编辑

高级数据结构笔记

摘要：在本文中，你可能找到：线段树，可持久化数据结构（主席树等），李超树，K-D Tree，树套树，莫队等算法。 I 树套树顾名思义，就是一个树套一个树。。。广义的树套树是指嵌套多层的数据结构。常见的有：线段树套线段树（二维线段树），线段树套平衡树（“二逼平衡树”），分块套平衡树，树状数组套线段树（带阅读全文

posted @ 2024-01-08 20:30 Link-Cut-Y 阅读(99) 评论(0) 推荐(2) 编辑

多项式（Poly）笔记

摘要：开头先扔板子：多项式板子们定义多项式（polynomial）是形如

P (x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}

$P(x) = \sum \limits_{i = 0}^{n} a_i x ^ i$ 的代数表达式。其中

x

$x$ 是一个不定元。

\partial (P (x))

$\partial(P(x))$ 称为这个多项式的次数。多项式的基本运算多项式的阅读全文

posted @ 2023-12-23 08:57 Link-Cut-Y 阅读(321) 评论(0) 推荐(1) 编辑

扩展中国剩余定理（Excrt）笔记

摘要：扩展中国剩余定理（excrt）本来应该先学中国剩余定理的。但是有了扩展中国剩余定理，朴素的 CRT 就没用了。扩展中国剩余定理用来求解如下形式的同余方程组： \[\begin{cases} x \equiv a_1\ ({\rm mod}\ b_1) \\ x\equiv a_2\ ({\rm 阅读全文

posted @ 2023-12-23 08:56 Link-Cut-Y 阅读(31) 评论(0) 推荐(1) 编辑

一次线性方程组高斯消元笔记

摘要：高斯消元原理高斯消元用来解如下形式的方程组： \[\begin{cases} a_{1, 1} x_1 + a_{1, 2} x_2 + \cdots + a_{1, n} x_n = b_1 \\ a_{2, 1} x_1 + a_{2, 2} x_2 + \cdots + a_{2, n} x 阅读全文

posted @ 2023-12-23 08:55 Link-Cut-Y 阅读(17) 评论(0) 推荐(1) 编辑

群论笔记

摘要：群论群的定义我们称一个集合

G

$G$ 和一个二元运算符

\circ

$\circ$ 构成的系统叫做「群」（Group）

(G, \circ)

$(G, \circ)$ 。在数学和抽象代数中，「群论」主要是对「群」的研究。一个群

(G, \circ)

$(G, \circ)$ 之所以是一个群，是因为其同时具有下面的性质：封闭性：\(\ 阅读全文

posted @ 2024-06-30 19:44 Link-Cut-Y 阅读(131) 评论(0) 推荐(0) 编辑

字符串学习笔记

摘要：今天重新拾起字符串。其实本来早就学过的，但是早就忘光了。所以复习一下，笔记记在这里，以免自己以后再忘掉。字符串哈希什么是字符串哈希将某个字符串压缩成一个数字的方法。设字符串为

S

$S$ 。其对应的唯一的哈希值为 \(\mathrm{hash_{S}} = \sum \limits_{i = 阅读全文

posted @ 2024-03-01 07:57 Link-Cut-Y 阅读(17) 评论(0) 推荐(1) 编辑

一些典型的计数

摘要：这里将会记录一些典型的计数。图计数无向图计数显然，

n

$n$ 个点的无向图个数应该为

2^{(\binom{n}{2})}

$2 ^ {\binom{n}{2}}$ 。

n

$n$ 个点

m

$m$ 条边无向图计数不妨设

g (n, m)

$g(n, m)$ 表示

n

$n$ 个点

m

$m$ 条边的无向图个数，显然有 \[g(n, m) 阅读全文

posted @ 2024-02-28 21:13 Link-Cut-Y 阅读(116) 评论(6) 推荐(1) 编辑

图论笔记

摘要：最短路相关最短路基础

F l o y e d

$\mathbf{Floyed}$ 求最短路本质上是 dp。设

f (w, i, j)

$f(w, i, j)$ 表示当前松弛到第

w

$w$ 轮，

i \to j

$i \rightarrow j$ 的最短路是

f (w, i, j)

$f(w, i, j)$ 。转移显然是： \[f(w, i, j) = f(w - 1, 阅读全文

posted @ 2024-02-12 22:23 Link-Cut-Y 阅读(34) 评论(0) 推荐(1) 编辑

高等代数笔记

摘要：高等代数笔记。

\S 1

$\text{\S}\ 1\$ 数域（Field）下面给出一些基本数学符号：

R / R

$\mathbb{R} / \mathbf{R}$ ：实数域。

C / C

$\mathbb{C} / \mathbf{C}$ ：复数域。

Z / Z

$\mathbb{Z} / \mathbf{Z}$ ：整数域。阅读全文

posted @ 2024-11-28 20:48 Link-Cut-Y 阅读(66) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[笔记]博弈论 & SG 函数

摘要：一直没学结果今天被创了。一些定义：

mex {S}

$\text{mex}\{S\}$ ：集合

S

$S$ 中最小的没有出现过的非负整数。

\oplus

$\oplus$ ：按位异或。也叫做

xor

$\text{xor}$ 。博弈状态定义 P-position 为“必胜态”，即 positive-position，简称 P 阅读全文

posted @ 2024-11-28 20:55 Link-Cut-Y 阅读(26) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[笔记]决策单调性

摘要：

f_{i} = min_{j \leq i} f_{j} + w (i, j)

$f_{i} = \min_{j \le i} f_j + w(i, j)$ 我们设

f (i, j)

$f(i, j)$ 表示

j

$j$ 为决策点，

i

$i$ 为被决策点。则若满足：

\frac{\frac{\partial f}{\partial i}}{\partial j} > 0

$\dfrac{\frac{\partial f}{\partial i}}{\partial j} > 0$ 恒成立阅读全文

posted @ 2024-11-28 20:56 Link-Cut-Y 阅读(13) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[笔记]线性基

摘要：线性基的定义：若干

0, 1

$0, 1$ 向量的集合

s

$s$ ，使得

\forall \vec{v} \in s

$\forall \overrightarrow{v} \in s$ ，不存在

p_{1}, p_{2} \dots p_{k} (\vec{v_{p_{i}}} \neq \vec{v})

$p_1, p_2 \cdots p_k(\overrightarrow{v_{p_i}} \ne \overrightarrow{v})$ ，使得阅读全文

posted @ 2024-11-28 21:01 Link-Cut-Y 阅读(6) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[笔记]组合数学的符号化方法

摘要：组合的符号化方法使用

A B C D E F G

$\mathcal{ABCDEFG}$ 来表示组合类，使用

a, b, c, d \in A B C D E F \dots

$a, b, c, d \in \mathcal{ABCDEF\cdots}$ 表示组合对象。使用

| a |

$|a|$ 表示组合对象的大小。定义两个组合类

A, B

$\mathcal{A, B}$ 的笛卡尔积为 \ 阅读全文

posted @ 2024-11-28 21:06 Link-Cut-Y 阅读(96) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[笔记]后缀自动机笔记

摘要：之前记过一遍了，现在快要省选了复盘一下。后缀自动机 SAM 构建过程： namespace Suffix_Automaton { int h[N], e[N], ne[N], idx; int last, sz[N], fa[N], len[N], tt; map<int, int> ch[N]; 阅读全文

posted @ 2024-11-28 21:10 Link-Cut-Y 阅读(4) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[笔记]生成函数及其展开技巧

摘要：定义定义形如

f (x) = \sum_{i = 0}^{\infty} a_{i} x^{i}

$f(x) = \sum \limits_{i = 0}^{\infty} a_i x ^ i$ 的式子为生成函数，其中

x

$x$ 是一个不定元，取值需要保证

f (x)

$f(x)$ 收敛。需要注意的是，

x

$x$ 在生成函数中并不以未知数的形式单独出现，其意义也脱离了代数上的未知数阅读全文

posted @ 2024-11-28 21:12 Link-Cut-Y 阅读(37) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[笔记]min25 筛

摘要：解决积性函数

f

$f$ 的前缀和问题。下文中的一些记号：

F (n) = \sum_{i = 1}^{n} f (i)

$F(n) = \sum_{i = 1}^{n} f(i)$ ：

f (i)

$f(i)$ 的前缀和。

lp (n)

$\text{lp}(n)$ ：

n

$n$ 的最小质因子。

p_{k}

$p_k$ ：全体质数中第

k

$k$ 小的质数。 \(\dfrac{x}{y 阅读全文

posted @ 2024-11-28 21:17 Link-Cut-Y 阅读(9) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[笔记]各种模板

摘要：启动。快排（带随机） void qsort(int l, int r) { if (l >= r) return; vector<int> p, q; p.clear(), q.clear(); for (int i = l; i <= r; i ++ ) { if (a[i] < a[l]) p 阅读全文

posted @ 2024-11-28 21:19 Link-Cut-Y 阅读(8) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[笔记]插值

摘要：垃圾插值给定

n + 1

$n + 1$ 个点

(x_{1}, 0), (x_{2}, 0), (x_{3}, 0) \dots (x_{n}, 0), (0, 1)

$(x_1, 0), (x_2, 0), (x_3, 0) \cdots (x_n, 0), (0, 1)$ 。求过这

n + 1

$n + 1$ 个点的

n

$n$ 次多项式。首先，答案肯定可以写成 \(F(x) = a\sum \limits_{i = 1} 阅读全文

posted @ 2024-11-28 21:19 Link-Cut-Y 阅读(9) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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