合集-笔记
摘要：本文同步发表于我的 洛谷博客。 1. 莫比乌斯函数 设正整数 \(n\) 的标准分解为 \(\sum \limits_{i = 1}^{k} p_i^{c_i}\)。 莫比乌斯函数定义为 \[\mu(n) = \left\{\begin{matrix} 0 \qquad \exists i \in
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摘要：欧拉函数 欧拉函数定义为：\(\varphi(n)\) 表示 \(1 \sim n\) 中所有与 \(n\) 互质的数的个数。 关于欧拉函数有下面的性质和用途： 欧拉函数是积性函数。可以通过这个性质求出他的公式。 \(f(p) = p - 1\)。很显然，比质数 \(p\) 小的所有数都与他互质。
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摘要：在本文中，你可能找到：线段树，可持久化数据结构（主席树等），李超树，K-D Tree，树套树，莫队等算法。 I 树套树 顾名思义，就是一个树套一个树。。。 广义的树套树是指嵌套多层的数据结构。常见的有：线段树套线段树（二维线段树），线段树套平衡树（“二逼平衡树”），分块套平衡树，树状数组套线段树（带
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摘要：开头先扔板子：多项式板子们 定义 多项式（polynomial）是形如 \(P(x) = \sum \limits_{i = 0}^{n} a_i x ^ i\) 的代数表达式。其中 \(x\) 是一个不定元。 \(\partial(P(x))\) 称为这个多项式的次数。 多项式的基本运算 多项式的
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摘要：扩展中国剩余定理（excrt） 本来应该先学中国剩余定理的。但是有了扩展中国剩余定理，朴素的 CRT 就没用了。 扩展中国剩余定理用来求解如下形式的同余方程组： \[\begin{cases} x \equiv a_1\ ({\rm mod}\ b_1) \\ x\equiv a_2\ ({\rm
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摘要：高斯消元原理 高斯消元用来解如下形式的方程组： \[\begin{cases} a_{1, 1} x_1 + a_{1, 2} x_2 + \cdots + a_{1, n} x_n = b_1 \\ a_{2, 1} x_1 + a_{2, 2} x_2 + \cdots + a_{2, n} x
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摘要：群论 群的定义 我们称一个集合 \(G\) 和一个二元运算符 \(\circ\) 构成的系统叫做「群」（Group） \((G, \circ)\)。 在数学和抽象代数中，「群论」主要是对「群」的研究。 一个群 \((G, \circ)\) 之所以是一个群，是因为其同时具有下面的性质： 封闭性：\(\
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摘要：今天重新拾起字符串。其实本来早就学过的，但是早就忘光了。所以复习一下，笔记记在这里，以免自己以后再忘掉。 字符串哈希 什么是字符串哈希 将某个字符串压缩成一个数字的方法。 设字符串为 \(S\)。其对应的唯一的哈希值为 \(\mathrm{hash_{S}} = \sum \limits_{i =
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摘要：这里将会记录一些典型的计数。 图计数 无向图计数 显然，\(n\) 个点的无向图个数应该为 \(2 ^ {\binom{n}{2}}\)。 \(n\) 个点 \(m\) 条边无向图计数 不妨设 \(g(n, m)\) 表示 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图个数，显然有 \[g(n, m)
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摘要：最短路相关 最短路基础 \(\mathbf{Floyed}\) 求最短路 本质上是 dp。设 \(f(w, i, j)\) 表示当前松弛到第 \(w\) 轮，\(i \rightarrow j\) 的最短路是 \(f(w, i, j)\)。转移显然是： \[f(w, i, j) = f(w - 1,
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摘要：高等代数笔记。 $\text{\S}\ 1\ $ 数域（Field） 下面给出一些基本数学符号： \(\mathbb{R} / \mathbf{R}\) ：实数域。 \(\mathbb{C} / \mathbf{C}\) ：复数域。 \(\mathbb{Z} / \mathbf{Z}\) ：整数域。
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摘要：一直没学结果今天被创了。 一些定义： \(\text{mex}\{S\}\)：集合 \(S\) 中最小的没有出现过的非负整数。 \(\oplus\)：按位异或。也叫做 \(\text{xor}\)。 博弈状态 定义 P-position 为“必胜态”，即 positive-position，简称 P
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摘要：\[f_{i} = \min_{j \le i} f_j + w(i, j) \]我们设 \(f(i, j)\) 表示 \(j\) 为决策点，\(i\) 为被决策点。则若满足： \[\dfrac{\frac{\partial f}{\partial i}}{\partial j} > 0 \]恒成立
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摘要：线性基的定义：若干 \(0, 1\) 向量的集合 \(s\)，使得 \(\forall \overrightarrow{v} \in s\)，不存在 \(p_1, p_2 \cdots p_k(\overrightarrow{v_{p_i}} \ne \overrightarrow{v})\)，使得
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摘要：组合的符号化方法 使用 \(\mathcal{ABCDEFG}\) 来表示组合类，使用 \(a, b, c, d \in \mathcal{ABCDEF\cdots}\) 表示组合对象。使用 \(|a|\) 表示组合对象的大小。 定义两个组合类 \(\mathcal{A, B}\) 的笛卡尔积为 \
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摘要：之前记过一遍了，现在快要省选了复盘一下。 后缀自动机 SAM 构建过程： namespace Suffix_Automaton { int h[N], e[N], ne[N], idx; int last, sz[N], fa[N], len[N], tt; map<int, int> ch[N];
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摘要：定义 定义形如 \(f(x) = \sum \limits_{i = 0}^{\infty} a_i x ^ i\) 的式子为生成函数，其中 \(x\) 是一个不定元，取值需要保证 \(f(x)\) 收敛。需要注意的是，\(x\) 在生成函数中并不以未知数的形式单独出现，其意义也脱离了代数上的未知数
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摘要：解决积性函数 \(f\) 的前缀和问题。 下文中的一些记号： \(F(n) = \sum_{i = 1}^{n} f(i)\)：\(f(i)\) 的前缀和。 \(\text{lp}(n)\)：\(n\) 的最小质因子。 \(p_k\)：全体质数中第 \(k\) 小的质数。 \(\dfrac{x}{y
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摘要：启动。 快排（带随机） void qsort(int l, int r) { if (l >= r) return; vector<int> p, q; p.clear(), q.clear(); for (int i = l; i <= r; i ++ ) { if (a[i] < a[l]) p
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摘要：垃圾插值 给定 \(n + 1\) 个点 \((x_1, 0), (x_2, 0), (x_3, 0) \cdots (x_n, 0), (0, 1)\)。求过这 \(n + 1\) 个点的 \(n\) 次多项式。 首先，答案肯定可以写成 \(F(x) = a\sum \limits_{i = 1}
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摘要：杜教筛 杜教筛的作用 杜教筛可以快速求出积性函数前缀和。如 \(\varphi\)，\(\mu\) 等。 什么是杜教筛 定义 \(f(x)\) 为一个积性函数，求 \(F(x) = \sum \limits_{i = 1}^{n} f(x)\)。 考虑构造函数 \(h, g\)，使得 \(h = f
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摘要：本文主要记录某些动态规划思路及动态规划优化。 首先先把以前写过的斜率优化祭出来。 斜率优化 \(\text{P5017 [NOIP2018 普及组] 摆渡车}\) 经典例题。 设 \(f_i\) 表示最后班车在 \(i\) 时刻发车，所有人等待时间和的最小值。（这里的所有人是指到达时刻小于等于 \(
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摘要：本文部分内容来自《高等代数》。 行列式定义 对于一个 \(n\) 阶行列式 \[A_{n \times n}= \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\ \vdots &
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摘要：给你四个正整数 \(a,\,b,\,c,\,d\) ，求一个最简分数 \(\frac{p}{q}\) 满足 \(\frac{a}{b} < \frac{p}{q} < \frac{c}{d}\)。 若有多组解，输出 \(q\) 最小的一组，若仍有多组解，输出 \(p\) 最小的一组。 Stern-B
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摘要：图论 对于图路径的构造，常常思考是否可以对叶子节点进行某种配对。按照 dfs 序对节点进行配对是考虑的方向之一。例题 P7320 「PMOI-4」可怜的团主，P4665 [BalticOI 2015]。 树上路径的交是路径。路径满足边数等于点数 \(-1\)，通常可以做某些神秘容斥。例题：2024
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