随笔分类 - 数学
摘要：本文部分内容来自《高等代数》。 行列式定义 对于一个 \(n\) 阶行列式 \[A_{n \times n}= \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\ \vdots &
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摘要：杜教筛 杜教筛的作用 杜教筛可以快速求出积性函数前缀和。如 \(\varphi\)，\(\mu\) 等。 什么是杜教筛 定义 \(f(x)\) 为一个积性函数，求 \(F(x) = \sum \limits_{i = 1}^{n} f(x)\)。 考虑构造函数 \(h, g\)，使得 \(h = f
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摘要：垃圾插值 给定 \(n + 1\) 个点 \((x_1, 0), (x_2, 0), (x_3, 0) \cdots (x_n, 0), (0, 1)\)。求过这 \(n + 1\) 个点的 \(n\) 次多项式。 首先，答案肯定可以写成 \(F(x) = a\sum \limits_{i = 1}
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摘要：解决积性函数 \(f\) 的前缀和问题。 下文中的一些记号： \(F(n) = \sum_{i = 1}^{n} f(i)\)：\(f(i)\) 的前缀和。 \(\text{lp}(n)\)：\(n\) 的最小质因子。 \(p_k\)：全体质数中第 \(k\) 小的质数。 \(\dfrac{x}{y
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摘要：定义 定义形如 \(f(x) = \sum \limits_{i = 0}^{\infty} a_i x ^ i\) 的式子为生成函数，其中 \(x\) 是一个不定元，取值需要保证 \(f(x)\) 收敛。需要注意的是，\(x\) 在生成函数中并不以未知数的形式单独出现，其意义也脱离了代数上的未知数
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摘要：组合的符号化方法 使用 \(\mathcal{ABCDEFG}\) 来表示组合类，使用 \(a, b, c, d \in \mathcal{ABCDEF\cdots}\) 表示组合对象。使用 \(|a|\) 表示组合对象的大小。 定义两个组合类 \(\mathcal{A, B}\) 的笛卡尔积为 \
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摘要：\[f_{i} = \min_{j \le i} f_j + w(i, j) \]我们设 \(f(i, j)\) 表示 \(j\) 为决策点，\(i\) 为被决策点。则若满足： \[\dfrac{\frac{\partial f}{\partial i}}{\partial j} > 0 \]恒成立
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摘要：一直没学结果今天被创了。 一些定义： \(\text{mex}\{S\}\)：集合 \(S\) 中最小的没有出现过的非负整数。 \(\oplus\)：按位异或。也叫做 \(\text{xor}\)。 博弈状态 定义 P-position 为“必胜态”，即 positive-position，简称 P
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摘要：反演 反演 若已知 \(f(n) = \sum g(k)\)，用 \(f\) 表示 \(g\) 的过程就叫“反演”。 二项式反演 参考一下邓老师的 PPT。 经典题：\(n\) 个元素错排的方案数。要求线性。 考虑枚举有 \(k\) 个人非错排，可以得到这 \(k\) 个人一共有 \(\dbinom
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摘要：群论 群的定义 我们称一个集合 \(G\) 和一个二元运算符 \(\circ\) 构成的系统叫做「群」（Group） \((G, \circ)\)。 在数学和抽象代数中，「群论」主要是对「群」的研究。 一个群 \((G, \circ)\) 之所以是一个群，是因为其同时具有下面的性质： 封闭性：\(\
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摘要：质数理论及筛法相关 质数判断（Miller-Rabbin 算法） 首先根据费马小定理，对于一个质数 \(p\)，有 \(\forall a \in [1, p - 1]\)，\(a ^ {p - 1} \equiv 1 (\bmod \ p)\)。但是假设需要判断的数为 \(n\)，随机挑选一个数
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摘要：开头先扔板子：多项式板子们 定义 多项式（polynomial）是形如 \(P(x) = \sum \limits_{i = 0}^{n} a_i x ^ i\) 的代数表达式。其中 \(x\) 是一个不定元。 \(\partial(P(x))\) 称为这个多项式的次数。 多项式的基本运算 多项式的
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摘要：扩展中国剩余定理（excrt） 本来应该先学中国剩余定理的。但是有了扩展中国剩余定理，朴素的 CRT 就没用了。 扩展中国剩余定理用来求解如下形式的同余方程组： \[\begin{cases} x \equiv a_1\ ({\rm mod}\ b_1) \\ x\equiv a_2\ ({\rm
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摘要：高斯消元原理 高斯消元用来解如下形式的方程组： \[\begin{cases} a_{1, 1} x_1 + a_{1, 2} x_2 + \cdots + a_{1, n} x_n = b_1 \\ a_{2, 1} x_1 + a_{2, 2} x_2 + \cdots + a_{2, n} x
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摘要：欧拉函数 欧拉函数定义为：\(\varphi(n)\) 表示 \(1 \sim n\) 中所有与 \(n\) 互质的数的个数。 关于欧拉函数有下面的性质和用途： 欧拉函数是积性函数。可以通过这个性质求出他的公式。 \(f(p) = p - 1\)。很显然，比质数 \(p\) 小的所有数都与他互质。
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摘要：本文同步发表于我的 洛谷博客。 1. 莫比乌斯函数 设正整数 \(n\) 的标准分解为 \(\sum \limits_{i = 1}^{k} p_i^{c_i}\)。 莫比乌斯函数定义为 \[\mu(n) = \left\{\begin{matrix} 0 \qquad \exists i \in
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摘要：学莫反的时候，发现许多题都会用到一个小技巧，于是有了下面这篇博文~ 引入 有问题如下：求 $$\sum_{i = 1}^{n} \left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor$$ 其中 $n \leq 10 ^ 9$ 考虑暴力做法枚举每一个 $i$ 并对 $\lef
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