随笔分类 -  数学

摘要:本文部分内容来自《高等代数》。 行列式定义 对于一个 n 阶行列式 \[A_{n \times n}= \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\ \vdots & 阅读全文
posted @ 2024-11-28 21:25 Link-Cut-Y 阅读(28) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:杜教筛 杜教筛的作用 杜教筛可以快速求出积性函数前缀和。如 φμ 等。 什么是杜教筛 定义 f(x) 为一个积性函数,求 F(x)=i=1nf(x)。 考虑构造函数 h,g,使得 \(h = f 阅读全文
posted @ 2024-11-28 21:22 Link-Cut-Y 阅读(32) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:垃圾插值 给定 n+1 个点 (x1,0),(x2,0),(x3,0)(xn,0),(0,1)。求过这 n+1 个点的 n 次多项式。 首先,答案肯定可以写成 \(F(x) = a\sum \limits_{i = 1} 阅读全文
posted @ 2024-11-28 21:19 Link-Cut-Y 阅读(8) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:解决积性函数 f 的前缀和问题。 下文中的一些记号: F(n)=i=1nf(i)f(i) 的前缀和。 lp(n)n 的最小质因子。 pk:全体质数中第 k 小的质数。 \(\dfrac{x}{y 阅读全文
posted @ 2024-11-28 21:17 Link-Cut-Y 阅读(8) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:定义 定义形如 f(x)=i=0aixi 的式子为生成函数,其中 x 是一个不定元,取值需要保证 f(x) 收敛。需要注意的是,x 在生成函数中并不以未知数的形式单独出现,其意义也脱离了代数上的未知数 阅读全文
posted @ 2024-11-28 21:12 Link-Cut-Y 阅读(31) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:组合的符号化方法 使用 ABCDEFG 来表示组合类,使用 a,b,c,dABCDEF 表示组合对象。使用 |a| 表示组合对象的大小。 定义两个组合类 A,B 的笛卡尔积为 \ 阅读全文
posted @ 2024-11-28 21:06 Link-Cut-Y 阅读(88) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:fi=minjifj+w(i,j)我们设 f(i,j) 表示 j 为决策点,i 为被决策点。则若满足: fij>0恒成立 阅读全文
posted @ 2024-11-28 20:56 Link-Cut-Y 阅读(11) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:一直没学结果今天被创了。 一些定义: mex{S}:集合 S 中最小的没有出现过的非负整数。 :按位异或。也叫做 xor。 博弈状态 定义 P-position 为“必胜态”,即 positive-position,简称 P 阅读全文
posted @ 2024-11-28 20:55 Link-Cut-Y 阅读(21) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:反演 反演 若已知 f(n)=g(k),用 f 表示 g 的过程就叫“反演”。 二项式反演 参考一下邓老师的 PPT。 经典题:n 个元素错排的方案数。要求线性。 考虑枚举有 k 个人非错排,可以得到这 k 个人一共有 \(\dbinom 阅读全文
posted @ 2024-11-28 20:46 Link-Cut-Y 阅读(16) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:群论 群的定义 我们称一个集合 G 和一个二元运算符 构成的系统叫做「群」(Group) (G,)。 在数学和抽象代数中,「群论」主要是对「群」的研究。 一个群 (G,) 之所以是一个群,是因为其同时具有下面的性质: 封闭性:\(\ 阅读全文
posted @ 2024-06-30 19:44 Link-Cut-Y 阅读(130) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:质数理论及筛法相关 质数判断(Miller-Rabbin 算法) 首先根据费马小定理,对于一个质数 p,有 a[1,p1]ap11(mod p)。但是假设需要判断的数为 n,随机挑选一个数 阅读全文
posted @ 2024-03-30 17:49 Link-Cut-Y 阅读(33) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:开头先扔板子:多项式板子们 定义 多项式(polynomial)是形如 P(x)=i=0naixi 的代数表达式。其中 x 是一个不定元。 (P(x)) 称为这个多项式的次数。 多项式的基本运算 多项式的 阅读全文
posted @ 2023-12-23 08:57 Link-Cut-Y 阅读(316) 评论(0) 推荐(1) 编辑
摘要:扩展中国剩余定理(excrt) 本来应该先学中国剩余定理的。但是有了扩展中国剩余定理,朴素的 CRT 就没用了。 扩展中国剩余定理用来求解如下形式的同余方程组: \[\begin{cases} x \equiv a_1\ ({\rm mod}\ b_1) \\ x\equiv a_2\ ({\rm 阅读全文
posted @ 2023-12-23 08:56 Link-Cut-Y 阅读(28) 评论(0) 推荐(1) 编辑
摘要:高斯消元原理 高斯消元用来解如下形式的方程组: \[\begin{cases} a_{1, 1} x_1 + a_{1, 2} x_2 + \cdots + a_{1, n} x_n = b_1 \\ a_{2, 1} x_1 + a_{2, 2} x_2 + \cdots + a_{2, n} x 阅读全文
posted @ 2023-12-23 08:55 Link-Cut-Y 阅读(16) 评论(0) 推荐(1) 编辑
摘要:欧拉函数 欧拉函数定义为:φ(n) 表示 1n 中所有与 n 互质的数的个数。 关于欧拉函数有下面的性质和用途: 欧拉函数是积性函数。可以通过这个性质求出他的公式。 f(p)=p1。很显然,比质数 p 小的所有数都与他互质。 阅读全文
posted @ 2023-12-23 08:54 Link-Cut-Y 阅读(33) 评论(0) 推荐(1) 编辑
摘要:本文同步发表于我的 洛谷博客。 1. 莫比乌斯函数 设正整数 n 的标准分解为 i=1kpici。 莫比乌斯函数定义为 \[\mu(n) = \left\{\begin{matrix} 0 \qquad \exists i \in 阅读全文
posted @ 2023-06-19 17:27 Link-Cut-Y 阅读(41) 评论(0) 推荐(1) 编辑
摘要:学莫反的时候,发现许多题都会用到一个小技巧,于是有了下面这篇博文~ 引入 有问题如下:求 i=1nni 其中 n109 考虑暴力做法枚举每一个 i 并对 $\lef 阅读全文
posted @ 2022-07-22 18:11 Link-Cut-Y 阅读(33) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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