数论 · 质数
素数又称质数，是基础数论中的重要内容。
该文章主要分为三个部分：
- 质数定理
- 算法模板及时间复杂度分析
- 例题
1. 质数定理
1.1 质数除\(1\)和他本身之外没有其他因数
1.2 \(2\)是唯一一个偶数质数, 同时也是最小的质数, \(1\)不是质数
1.3 除了 \(1\) 之外的任何一个数不是质数就是合数(很明显, 却很常用)
1.4 能整除一个合数的最小因子一定小于等于\(\sqrt{n}\), 换言之, 如果一个数不能被\(2 - \sqrt{n}\)之间的任何一个数整除,那么这个数是质数
2. 代码模板及时间复杂度分析
2.1 试除法判定素数
上面已经说过, 如果一个数不能被\(2 - \sqrt{n}\)之间的任何一个数整除,那么这个数是质数
所以只要遍历 \(2 - \sqrt{n}\) 之间的所有数，判断能否整除 \(n\) 即可
时间复杂度最坏可以达到 \(O(\sqrt{n})\)
bool is_prime(int n)
{
if (n <= 1) return false; // 1并不是质数
for (int i = 2; i <= n / i; i ++ ) // 遍历从2 - sqrt(n) 之间的所有
if (n % i == 0) // 判断是否能整除n
return false;
return true;
}
2.2 筛法
筛法的作用就是筛出从 \(1 - n\) 之间的所有质数
筛法主要有两种
2.2.1 埃氏筛法
思路：遍历所有从 \(2 - n\) 之间所有数, 若数\(i\)是质数, 则将\(i - n\)之间所有能被\(i\)整除的标记为合数
Q: 为什么只标记质数的倍数就可以了呢??
A: 根据唯一分解定理: 每个\(>= 2\)的数的质因数分解形式只有一种, 且一定可以被质因数分解, 所以我们只需要考虑质数的倍数,就可以标记所有的合数
复杂度分析:
首先要遍历 \(2 - n\), 复杂度为 \(O(n)\)
其次要标记所有合数, 复杂度为 \(O(\frac{n}{p1} + \frac{n}{p2} ... )\)
而$\frac{n}{1} + \frac{n}{p2} ... $ 可以写成 \(n(\frac{1}{p1} + \frac{1}{p2} ... )\)
$\frac{1}{1} + \frac{1}{2} ... $ 被称为调和级数，大小约为 \(logn\)
而我们只对其中的素数进行向后的筛选，所以总复杂度为\(O(loglogn)\)
总时间复杂度为 \(O(nloglogn)\), 约为线性的复杂度
void get_primes(int n)
{
for (int i = 2; i <= n; i ++ )
{
if (!st[i]) primes[ ++ cnt] = i;
else continue;
for (int j = i + i; j <= n; j += i)
st[j] = true;
}
}
2.2.2 欧拉筛法
这是数学中使用频率最高的筛法, 思路同埃氏筛法, 不同的我们标记合数的时候, 是用前面已经得到的素数去更新后面的
void get_primes(int n)
{
for (int i = 2; i <= n; i ++ )
{
if (!st[i]) primes[ ++ cnt] = i; // 如果这个数没有被标记为合数，则为质数
for (int j = 1; primes[j] * i <= n; j ++ ) // 枚举前面已经得到的质数去更新后面的，同时要保证 primes[j] * i <= n, 因为更新大于n的数就没有意义了
{
st[i * primes[j]] = true;
if (i % primes[j] == 0) break; // 小优化
/*
1. 当 i % primes[j] != 0时, 说明此时遍历到的 primes[j] 不是 i 的质因子，那么只可能是此时的 primes[j] < i 的
最小质因子,所以primes[j] * i的最小质因子就是primes[j];
2. 当有 i % primes[j] == 0 时,说明i的最小质因子是 primes[j] ,因此 primes[j] * i的最小质因子也就应该是
prime[j]，之后接着用 st[primes[j + 1] * i] = true去筛合数时，就不是用最小质因子去更新了,因为 i 有最小
质因子 primes[j] < primes[j + 1] ,此时的 primes[j + 1] 不是primes[j + 1] * i 的最小质因子，此时就应该
退出循环，避免之后重复进行筛选。
*/
}
}
}
时间复杂度为 \(O(n)\)， 是线性复杂度
欧拉筛的代码稍有复杂，但是速度更快（但实际上个人在实际问题中，更喜欢写埃氏筛，因为比较好些啦 ~ ）
3. 例题
这道题非常讨厌，只能写欧拉筛才能过去（www写不了埃氏筛了）
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <ctime>
using namespace std;
const int N = 1e8 + 10;
bool st[N];
int primes[N], cnt;
int n, q, x;
void get_primes(int n)
{
for (int i = 2; i <= n; i ++ )
{
if (!st[i]) primes[ ++ cnt] = i;
for (int j = 1; primes[j] * i <= n; j ++ )
{
st[i * primes[j]] = true;
if (i % primes[j] == 0) break;
}
}
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &q);
get_primes(n);
while (q -- )
{
int x;
scanf("%d", &x);
printf("%d\n", primes[x]);
}
return 0;
}
