CF1945D 题解

题意简述

$n$ 个人在排队，每个人有两个属性 $a_i,b_i$。有一个人站在这 $n$ 个人的后面，他想要进到前 $m$ 个位置中的任何一个。他可以进行任意次数的以下操作：

• 假设他在位置 $x$，他可以选择一个 $y<x$，和他交换位置。一次交换的费用是 $b_y+\sum_{k=y+1}^{x-1}a_k$

问他达成目标的最小费用是多少。

解法

考虑 dp。

先把 $a_i$ 用前缀和维护到 $s_i$ 数组。

设 $f_i$ 为从队尾换到第 $i$ 个位置的最小花费，显然有：

$$f_i=\min_{j>i}\{f_j+b_i+s_{j-1}-s_{i}\}$$

初始状态是 $f_{n+1}=0$。

这么转移是 $O(n^2)$ 的，肯定过不了，考虑优化。

先把常数项（和 $j$ 无关的项）提出：

$$f_i=\min_{j>i}\{f_j+s_{j-1}\}+b_i-s_i$$

现在问题就转化为：对于每一个 $i$ 求一个 $x=\min\{f_j+s_{j-1}\}$，然后 $f_i=x+b_i-s_i$ 即可。

显然，这个 $x$ 可以用后缀最大值维护。

于是我们就 $O(n)$ 解决了这个问题。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N=2e5+10,INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n,m;
int a[N],b[N];
int f[N];
void solve(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>b[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)b[i]+=b[i-1];
	f[n+1]=0;
	int mn=b[n];
	for(int i=n;i>=1;i--){
		f[i]=mn+a[i]-b[i];
		mn=min(mn,f[i]+b[i-1]);
	}
	int ans=INF;
	for(int i=1;i<=m;i++)ans=min(ans,f[i]);
	cout<<ans<<'\n';
	memset(f,0,sizeof(int)*n+10);
	memset(b,0,sizeof(int)*n+10);
	memset(a,0,sizeof(int)*n+10);
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	int t;cin>>t;
	while(t--)solve();
	return 0;
}