网络流模型 · 最大权闭合子图

定义

我们先来定义什么是闭合子图。

通俗地讲，在一个有向图中，我们选择一些点作为一个点集。若这个点集中任何一个点所能到达的所有点都在这个点集中，我们称这个点集是一个闭合子图。

例如，在上图中，\(\{5\},\{2,3,4,5\},\{1,2,3,4,5\}\) 都是这个图的闭合子图。而 \(\{2,4,5\}\) 则不是，因为 \(3\) 可以到达 \(4\)，而 \(4\) 不在这个点集中。

现在，每个点有一个点权 \(w_i\)，\(w_i\) 可以是负数，我们要选择一个最大权闭合子图 \(S\) 来最大化 \(\sum_{u\in S}w_u\)，即选择一个点权和最大的闭合子图。

建模方法

我们考虑把它转化成网络流中的最小割来解决。

具体地，建立超级源点 \(S\) 和超级汇点 \(T\)。

1. 对于原图中的边，我们保留，并把其容量设为 \(\inf\)。(1)

2. 对于每个原图中的点 \(u\)：若 \(w_u>0\) 则从 \(S\) 向 \(u\) 连一条容量为 \(w_u\) 的边。若 \(w_u<0\) 则从 \(u\) 向 \(T\) 连一条容量为 \(-w_u\) 的边。若 \(w_u=0\)，我们不管他。（也可以管，但是容量为 \(0\) 就相当于没有边）

3. 我们跑出这个网络的最小割，其容量记为 \(c\)，则最大权闭合子图的权值和就是 \(\sum_{w_u>0}w_u-c\)。

正确性

首先，最小割一定不会割掉原图中的边，因为这些边的容量是 \(\inf\)，割掉它还不如把其它所有边割掉。

其次，我们是不会主动选择一个负权点 \(u\) 的。若选择了这个点，则其在原图中所有能到达的点都被选择了，那还不如选择 \(u\) 的所有儿子而不选择 \(u\) 更优。

如果我们割掉了一条从 \(S\) 到正权点 \(u\) 的边，则说明我们不选择 \(u\)。

如果我们割掉了一条从负权点 \(v\) 到 \(T\) 的边，则说明我们选择 \(v\)。

每个点都只有选或者不选两种情况，所以，一个割一定对应一个子图。

对于一条从 \(S\) 连向正权点 \(u\) 的边，若不割掉它，则说明我们选择了原图中 \(u\) 这个点，进而选择了 \(u\) 的所有能到达的点 \(V\)。\(V\) 中如果有负权点，那么必须割掉这些负权点到 \(T\) 的边（也即选择这些负权点），否则存在从 \(S\) 到 \(T\) 的路径，不能形成一个割。

所以，一个割一定对应一个闭合子图。

对于一条从 \(S\) 连向正权点 \(u\) 的边，若不割掉它，则说明我们选择了原图中 \(u\) 这个点，进而选择了 \(u\) 的所有能到达的点 \(V\)。\(V\) 中如果有正权点，则 \(S\) 到这些点的边一定不会割掉（对应着我们选择了这些点），因为在割掉 \(V\) 中所有负权点到 \(T\) 的边的前提下，这些点不用割掉任何其它的负权点到 \(T\) 的边，因此不割肯定比割了要更优。

若对于一个负权点 \(v\)，其所有的前驱正权点到 \(S\) 的边都被割掉了，那么就不用割掉 \(v\) 到 \(T\) 的边了，因为显然没有任何点能选择 \(v\)。

以上的这些只是为了加深理解，最小割一定对应最大权闭合子图。

最后，答案是 \(\sum_{w_u>0}w_u-c\) 的原因也就呼之欲出了：

\(c\) 中包含了 \(S\) 到正权点的边的容量，即不选这个正权点，所以肯定要从正权点的和中减去。

同时它又包含了负权点到 \(T\) 中的容量，即选择这个负权点，因为权值是负的，所以肯定要减去。（与前文 \(w_u<0\) 时边的容量设成 \(-w_u\) 形成呼应）

关于具体方案，根据上文所说的 割不割 与 选不选 的关系可以轻松求得。

\[Q.E.D. \]