P10206 题解

题意不再赘述。

解法

不妨先在图上分别把以 $S,T$ 为起点到各点的最短路跑出来，记为 $ds_u,dt_u$。

若 $ds_T \leq K$，则答案为 $\frac{N(N-1)}{2}$，这是显然的。

否则，考虑一下，当什么条件下，在 $(u,v)$ 间修建铁路能满足条件，无非是以下两种：

• $u<v,ds_u+L+dt_v\leq K$
• $u<v,ds_v+L+dt_u\leq K$

我们只讨论前者的统计方法，后者同前者。

变形，我们要对于每一个 $v$ 统计满足 $dt_u\leq K-L-ds_v$ 的 $u$ 的个数。这个可以把值域离散化，再开一个树状数组来统计。

具体地，我们把所有的 $dt_u$ 和 $K-L-ds_v$ 离散化。让 $i=1,2,3,\cdots,N$，则对于每个 $i$，答案加上树状数组上 $K-L-ds_v$ 的前缀和，再把树状数组上 $dt_i$ 的位置增加 $1$。

这样就可以在 $O((M+N)\log N)$ 内解决问题。

代码注意 long long。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define fi first
#define se second
const int N=2e5+10;
ll n,m,s,t;
ll l,k;
struct edge{
	int v,nxt;
	ll w;
}e[N*2];
int head[N],cnt=2;
void add(int u,int v,ll w){
	e[cnt].v=v,e[cnt].w=w;
	e[cnt].nxt=head[u];
	head[u]=cnt++;
}
ll ds[N],dt[N];
bool vis[N];
void Dijkstra(ll d[],int s){
	memset(d,0x3f,sizeof(ll)*(n+10));
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	priority_queue<pair<ll,int> >q;
	q.push(make_pair(0,s));
	d[s]=0;
	while(q.size()){
		int u=q.top().se;q.pop();
		if(vis[u])continue;
		vis[u]=1;
		for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
			if(!vis[e[i].v]&&d[e[i].v]>d[u]+e[i].w){
				d[e[i].v]=d[u]+e[i].w;
				q.push(make_pair(-d[e[i].v],e[i].v));
			}
		}
	}
}
ll dis[N*2],tot;
ll bit[N*2];
inline int lowbit(int x){return x&(-x);}
void upd(int p,ll x){for(;p<=tot;p+=lowbit(p))bit[p]+=x;}
ll ask(int p){ll ans=0;for(;p;p-=lowbit(p))ans+=bit[p];return ans;}
ll ans=0;
int dsk(ll x){return lower_bound(dis+1,dis+1+tot,x)-dis;}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0),cout.tie(0); 
	cin>>n>>m>>s>>t>>l>>k;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u,v,w;
		cin>>u>>v>>w;
		add(u,v,w);
		add(v,u,w);
	}
	Dijkstra(ds,s);
	Dijkstra(dt,t);
	if(ds[t]<=k){
		cout<<n*(n-1)/2<<'\n';
		return 0;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)dis[++tot]=dt[i];
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(ds[i]+l<=k){
			dis[++tot]=k-l-ds[i]; 
		}
	}
	sort(dis+1,dis+1+tot);
	tot=unique(dis+1,dis+1+tot)-dis-1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(ds[i]+l<=k)
			ans+=ask(dsk(k-l-ds[i]));
		upd(dsk(dt[i]),1);
	}
	memset(bit,0,sizeof(bit));tot=0;
	
	for(int i=1;i<=n;i++)dis[++tot]=ds[i];
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(dt[i]+l<=k){
			dis[++tot]=k-l-dt[i]; 
		}
	}
	sort(dis+1,dis+1+tot);
	tot=unique(dis+1,dis+1+tot)-dis-1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(dt[i]+l<=k)
			ans+=ask(dsk(k-l-dt[i]));
		upd(dsk(ds[i]),1);
	}
	cout<<ans<<'\n';
	return 0;
}