妙妙 DP 题

Luogu P5904。

给定一棵 $n$ 节点的树，求有多少个三元节点对使得任意两个点之间距离相等。$n \leq 10^5$。

高端的题目，往往只需要朴素的题面。

经过观察得到，满足上述条件的节点对在有根树中只有两种形态：

对于左面一种形态，我们设 $f_{u,i}$ 表示 $u$ 子树内与 $u$ 距离为 $i$ 的节点的个数。

对于右面一种形态，我们设 $g_{u,i}$ 表示：

上图中，$(A,B,C)$ 构成一个合法三元组，$C$ 与 $u$ 之间距离为 $i$ 的二元组 $(A,B)$ 个数。通俗地说，$A,B$ 已经凑成一对了，只要 $u$ 往外走 $i$ 步能找到一个点 $C$，那么 $(A,B,C)$ 就构成了一个合法三元组。

先让我们想想如何统计答案。

首先，所有的 $g_{u,0}$ 应该被累加进答案中。这对应着这种情况：

其次，对于所有的 $p,q\in son_u,p\neq q,f_{p,i-1}\times g_{q,i+1}$ 应该被累加进答案中。这对应着这种情况：

这种情况的合法性不难想到，$q$ 到 $C$ 距离为 $i+1$，此时 $A,B$ 正好需要一个从 $q$ 往外走 $i+1$ 步的一个点，也就是 $C$。

把这两种情况统计好即可做到不重不漏。

再思考如何转移。

对于 $f_{u,i}$，有 $f_{u,i}=\sum_{v\in son_u}f_{v,i-1},f_{u,0}=1$。

这是不难想到的。关键在于 $g_{u,i}$ 的转移。

首先，所有的 $v\in son_u,g_{v,i+1}$ 是要累加进 $g_{u,i}$ 的。这对应着这种情况：

$v$ 需要往外找 $i+1$ 步，因为 $u$ 在 $v$ 外面一步，所以 $u$ 需要往外找 $i$ 步，对应 $g_{u,i}$。

其次，对于所有的 $p,q\in u,p\neq q,f_{p,i-1}\times f_{q,i-1}$ 应该被累加进 $g_{u,i}$ 中，这对应着这种情况：

此时，我们所有的工作就圆满完成了。