FHQ-Treap 笔记

前言

众所周知，Treap 速度快但是码量大，Splay 支持的操作多但是懒得背，pb_ds 总是让人不够信任。

此时，我们就需要 FHQ-Treap。

这也是一种 Treap，核心是分裂 (split) 操作和合并 (merge) 操作。优点有码量小、支持区间操作、支持可持久化，缺点也很明显，常数大。

FHQ-Treap

先定义一下数据。

\(ls_p\) 和 \(rs_p\) 分别表示 \(p\) 节点的左右儿子，\(val_p\) 表示 BST 权值，\(ord_p\) 表示 Heap 权值，\(siz_p\) 表示树中以 \(p\) 为根节点的子树大小。

首先说明白，FHQ-Treap 不对 \(val\) 相同的节点进行压缩。

分裂操作

我们现在先只讨论按 \(val\) 分裂。

给定一个权值 \(v\)，把树 \(T\) 中所有的节点的 \(val\) 按照 \(v\) 进行分界，\(val\leq v\) 的放到 \(T_x\) 里，其它的放放到 \(T_y\) 里。

Split 完成的就是这个操作。下面我们来考虑如何高效完成它。

假设 \(p\in T,val_p\leq v\)，很显然 \(p\) 应该被放进 \(T_x\) 里。因为 BST 的性质，\(ls_p\) 中的节点显然也有 \(val\leq v\)，所以 \(p\) 以及 \(ls_p\) 都应该被放进 \(T_x\) 中。此时 \(T_x\) 中的 \(p\) 的左子树是确定的；\(T\) 中除了 \(p\) 的右子树，其它部分应该都被放进了 \(T_x\) 或 \(T_y\) 中。所以下一步，\(T_x\) 中只有 \(p\) 的右子树（此时为空）会加新节点，\(T\) 中只有 \(p\) 的右子树会被考虑分到 \(T_x\) 或 \(T_y\) 中。

\(val_p>v\) 同理。

于是就有了 Split 操作的代码。

void split(int p,int v,int &x,int &y){
	if(!p){x=y=0;return;}
	if(val[p]<=v)split(rs[p],v,rs[x=p],y);
	else split(ls[p],v,x,ls[y=p]);
	push(p);
}

此处使用了引用传参，请注意。

合并操作

有两棵树，\(T_x\) 和 \(T_y\)，其中 \(\max_{p\in T_x}\{val_p\}<\min_{p\in T_y}\{val_p\}\)，我们要把这两棵树合并成一个树 \(T\)。

在此处，需要说明一下我们维护的是大根堆。

我们先从 \(T_x\) 和 \(T_y\) 的根节点 \(x,y\) 考虑。

若 \(ord_x>ord_y\)，则在 \(T\) 中 \(x\) 应是 \(y\) 的父亲，再根据 \(val_x<val_y\)，则 \(y\) 是 \(x\) 的右儿子。\(T\) 中 \(x\) 的左子树就是 \(T_x\) 中的左子树，因此可以不用管。此时 \(x\) 有右儿子，但 \(y\) 也可能是 \(x\) 的右儿子，所以我们要对 \(rs_x\) 和 \(y\) 递归合并。

\(ord_x\geq ord_y\) 同理。

于是便有了 Merge 操作的代码。

int merge(int x,int y){
	if(!x||!y)return x+y;
	if(rd[x]>rd[y]){
		rs[x]=merge(rs[x],y);
		push(x);
		return x;
	}else{
		ls[y]=merge(x,ls[y]);
		push(y);
		return y;
	}
}

其它操作

有了 Split 和 Merge，这些操作就十分好写了。

插入

若插入的节点为 \(p\)，直接把 \(T\) 按 \(val_p-1\) 分裂成 \(T_x\) 和 \(T_y\)，\(T_x\) 与 \(p\) 合并再与 \(T_y\) 即可。

删除

把 \(T\) 按 \(v-1\) 分裂成 \(T_x\) 和 \(T_z\)，把 \(T_z\) 按 \(v\) 分裂成 \(T_y\) 和 \(T_z\)，则 \(T_y\) 中所有节点的权值等于 \(v\)，我们直接依次合并 \(T_x,ls_y,rs_y,T_z\) 即可。

排名

把 \(T\) 按 \(v-1\) 分裂成 \(T_x\) 和 \(T_y\)，则 \(siz_y+1\) 即为排名。

第 k 大、前驱后继

同普通平衡树。