CF1992G 题解

纪念一下独立做出来的 *2000。

题意简述

给你一个集合 $A$，其中的元素为 $1,2,3,\cdots,n$，定义 $\operatorname{mex}\{B,k\}$ 为集合 $B$ 中从小到大不存在的第 $k$ 个正整数。

求 $\sum_{S\in A}\operatorname{mex}\{S,|S|+1\}$。

解法

考虑枚举 $a$，再计算有多少个 $S$ 符合 $\operatorname{mex}\{S,|S|+1\}=a$。

我们分为两种情况：

1. $a\leq n$，此时 $S$ 中的元素可能小于 $a$，也可能大于 $a$。

2. $n+1\leq a\leq 2n+1$，此时 $S$ 中的元素小于 $n$。

先考虑第一种情况。

既然是明摆着让 $O(n^2)$ 过，不如往 $O(n^2)$ 方面想想。

我们枚举 $a$ 的同时枚举 $S$ 中小于 $a$ 的数的个数，记为 $x$，设 $S$ 中大于 $a$ 的数的个数为 $y$，则根据定义可以推导出 $y=a-1-2x$。

相当于在小于 $a$ 的 $a-1$ 个数中选择 $x$ 个，在大于 $a$ 的 $n-a$ 个数中选择 $y$ 个，显然有 $\binom{a-1}{x}\binom{n-a}{y}$ 种情况，对应到答案的贡献就是 $\binom{a-1}{x}\binom{n-a}{y}\times a$。

再考虑第二种情况。

也是枚举 $a$。设 $x$ 为选择了多少个数（因为 $x>n$，所有的数小于等于 $n$，所以讨论 $a$ 与 $x$ 的大小关系没意义），则容易发现，当且仅当 $a=2x+1$ 时满足条件。

于是预处理组合数就可以在 $O(n^2)$ 的时间内回答一个测试点。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
typedef pair<int,int> pii;
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define mp make_pair
const int N=5e3+10,INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f,mod=1e9+7;
int jc[N],jcinv[N];
int qpow(int a,int p){
	int ans=1;
	while(p){
		if(p&1)ans=ans*a%mod;
		a=a*a%mod;
		p>>=1;
	}
	return ans;
}
void init(){
	jc[0]=jcinv[0]=1;
	for(int i=1;i<N;i++){
		jc[i]=jc[i-1]*i%mod;
		jcinv[i]=qpow(jc[i],mod-2);
	}
}
int C(int n,int m){return jc[n]*jcinv[n-m]%mod*jcinv[m]%mod;}
void solve(){
	int n,ans=0;
	cin>>n;
	for(int a=1;a<=n;a++){
		for(int x=0;x<=a-1;x++){
			int y=a-1-2*x;
			if(y<0)break;
			if(n-a>=y)ans=(ans+C(a-1,x)*C(n-a,y)%mod*a%mod)%mod;
		}
	}
	for(int a=n+1;a<=n+n+1;a++){
		if(a%2==1)ans=(ans+C(n,a/2)*a%mod)%mod;
	}
	cout<<ans<<'\n';
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	init();
	int t;cin>>t;
	while(t--)solve();
	return 0;
}