CF1787H 题解

搞了很久才搞明白，写一篇比较详细的题解造福一下后人（

Sol

首先不妨转化一下，把最大得分转化成最小扣分，于是我们发现如果要做题，就要优先做 $k_i$ 大的，因为他分减的最快。也可以选择不做他，得分取到 $a_i$，那么把它放在最后做肯定不劣。

于是我们把这些题按照 $k_i$ 排序，记 $c_i=b_i-a_i$，设 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 道题，有 $j$ 道不取 $a_i$ 的扣分最小值，容易得到转移：

$$\begin{aligned} f_{i,0}&=f_{i-1,0}+c_i\\ f_{i,j}&=\min\{f_{i-1,j}+c_i,f_{i-1,j-1}+k_i\times j\} \end{aligned}$$

这是 $O(n^2)$ 的 DP，我们尝试发现一些东西来优化它。。

如果你真的写出这个 DP 打表并期望得到一些规律：

for(int i=1;i<=n;i++){
    f[i][0]=f[i-1][0]+p[i].c;
    for(int j=1;j<=i;j++)
        f[i][j]=min(f[i-1][j]+p[i].c,f[i-1][j-1]+p[i].k*j);
}

如果你跑一下最后一组样例并把 $f_{i,j}$ 输出：

 5
 10  15
 29  20  19
 44  35  34  15
 52  43  42  23   8
 56  47  46  27  12   4
 62  53  52  33  18  10   6
 80  68  62  51  36  28  24  18
 81  69  63  52  37  29  25  19   1
105  85  75  71  62  49  43  41  29  21

你会惊喜地发现 $f_{i,j}$ 关于 $j$ 是下凸的。

既然发现了它的凸性，我们不妨差分吧！设 $g_{i,j}=f_{i,j}-f_{i,j-1}$，我们用 $f_{i,0}+\sum_{k=1}^j g_{i,k}$ 替换 $f_{i,j}$ 即可得到：

$$f_{i,0}+\sum_{k=1}^j g_{i,k}=\min\{f_{i-1,0}+\sum_{k=1}^{j}g_{i-1,k}+c_i,f_{i-1,0}+\sum_{k=1}^{j-1}g_{i-1,k}+k_i\times j\}$$

把不变的东西提出来：

$$f_{i,0}+\sum_{k=1}^j g_{i,k}=f_{i-1,0}+\sum_{k=1}^{j-1}g_{i-1,k}+\min\{g_{i-1,j}+c_i,k_i\times j\}$$

我们知道 $f_{i,0}=f_{i-1,0}+c_i$，所以：

$$c_i+\sum_{k=1}^j g_{i,k}=\sum_{k=1}^{j-1}g_{i-1,k}+\min\{g_{i-1,j}+c_i,k_i\times j\}$$

为了把单个的 $g_{i,j}$ 拎出来，我们将上式中的 $j$ 替换为 $j-1$：

$$c_i+\sum_{k=1}^{j-1} g_{i,k}=\sum_{k=1}^{j-2}g_{i-1,k}+\min\{g_{i-1,j-1}+c_i,k_i\times (j-1)\}$$

然后将两式相减：

$$g_{i,j}=g_{i-1,j-1}+\min\{g_{i-1,j}+c_i,k_i\times j\}-\min\{g_{i-1,j-1}+c_i,k_i\times (j-1)\}$$

最后你发现这不还是 $O(n^2)$ 的吗。。不过如果你真的把这个 DP 写出来并且打表，然后跑最后一组样例并输出 $g_{i,j}$：

    0
   -22    5
   -22   -9   10
   -22   -9    0   15
   -22   -9    0    4   18
   -22   -9    0    4   11   21
   -22   -9    0    4    9   14   24
   -22  -12   -6    3    7   12   17   27
   -22  -12   -6    3    7   12   17   23   30
   -26  -20  -10   -4    5    9   14   19   25   32

你会发现，每一行的前面一段相对于上一行不变。如果你注意力极其惊人，你会发现每一行的后面一段对于上一行的后面一段的差是个定值！！1

结合一下，我们的转移里面有 $\min$ 函数，说明其中有规律可言，$\min$ 函数到底取哪个值是有规律的。

打表发现，$i$ 固定，存在一个最小的 $pos$ 满足 $g_{i-1,pos}+c_i > k_i\times pos$，使得对于所有的 $j< pos$，$g_{i-1,j}+c_i\leq k_i\times j$，其余的 $j$ 都不满足这个。

而 $\min\{g_{i-1,j-1}+c_i,k_i\times (j-1)\}$ 就相当于 $\min\{g_{i-1,j}+c_i,k_i\times j\}$ 往后移一位，所以我们可以分成三段来讨论：

1. 两个 $\min$ 全取前面那一项，对应 $j< pos$，$g_{i,j}=g_{i-1,j}$。
2. 第一个 $\min$ 取后面一项，第二个取前面一项，在 $pos$ 处插入 $g_{i,j}=k_i\times j-c_i$。
3. 两个 $\min$ 全取后面那一项，对应 $j\geq pos$，$g_{i,j}=g_{i-1,j}+k_i$。

如果你把这些全部注意到了，那么恭喜你，直接平衡树维护上述过程就可以过掉了。

但是你还不满足，为什么是这样的呢？？？

这基于一个关键条件：对于任意的 $i,j$，有 $g_{i,j}-g_{i,j-1}\geq k_i$。

我们考虑归纳证明这个条件，对于 $i=2$ 显然成立就不展开了。

当我们对于一个 $g_i$，将其转移到 $g_{i+1}$ 时，考虑上述转移的过程：

先找到一个最小的 $pos$ 满足 $g_{i,pos}> k_{i+1}\times pos-c_{i+1}$。

对于左边不变和右边同时增加的那一部分，我们知道 $k$ 是不增的，所以肯定满足。

对于 $pos-1$ 和 $pos$ 之间，有：$g_{i+1,pos}-g_{i+1,pos-1}=k_{i+1}\times pos-c_{i+1}-g_{i,pos-1}$。

我们知道 $g_{i,pos-1}$ 不满足 $g_{i,pos-1}>k_{i+1}\times (pos-1)-c_{i+1}$，也就是说 $g_{i,pos-1}\leq k_{i+1}\times (pos-1)-c_{i+1}$。

所以有 $k_{i+1}\times pos-c_{i+1}-g_{i,pos-1}\geq k_{i+1}\times pos-c_{i+1}-k_{i+1}\times (pos-1)-c_{i+1}=k_{i+1}$。即满足。

对于 $pos$ 和 $pos+1$ 之间，有：$g_{i+1,pos+1}-g_{i+1,pos}=g_{i,pos+1}+k_{i+1}-k_{i+1}\times pos+c_{i+1}\geq k_{i+1}$。

优雅结束。

回顾一下本题的历程，我们首先取原 DP 数组的差分，然后注意到差分的差分大于一个数由此得出单调性，或许在场上对于我这种，除了打表没什么其他方法吧！

这就是你和 CF 3300 的差距。 —— 一休哥777