CF776E 题解

Sol

打表发现 \(f(n)\) 是积性函数，且 \(g(n)=n\)。将这些代入递推式，可以发现 \(F_k(n)\) 就是 \(f(n)\) 的 \(\lceil\frac{k}{2}\rceil\) 次复合后得到的结果。

仔细观察可以发现当 \(p\) 为质数时 \(f(p^k)=(p-1)p^{k-1}\)，于是我们可以 \(O(\sqrt n)\) 求出来 \(f(n)\)。

结合 \(f(1)=1\)，\(f(n)<n\)，我们可以每次 \(O(\sqrt n)\) 求 \(f(n)\) 一直求 \(k\) 次，中途如果 \(n=1\) 就退出，交上去发现过了。

考虑证明。

首先根据更相减损术，有 \(\gcd(i,n-i)=\gcd(n,i)\)，于是 \(f(n)=\sum_{i=1}^{n-1}[\gcd(i,n)=1]\)，这不是我们欧拉函数吗。

根据欧拉函数的性质，有 \(g(n)=\sum_{d\mid n}\varphi(\frac{n}{d})=\sum_{d\mid n}\varphi(d)=n\)。

那么时间复杂度是多少呢？

考虑对 \(n\) 分类讨论：

• 当 \(n\neq 1\) 为奇数：\(\varphi(n)=n\prod(\frac{p_i-1}{p_i})\)，\(p_i-1\) 为偶数，那么 \(\varphi(n)\) 为偶数。
• 当 \(n\) 为偶数：那么一定有 \(\frac{n}{2}\) 个偶数与 \(n\) 不互质，\(\varphi(n)<\frac{n}{2}\)。

所以其一定在 \(O(\log n)\) 次复合后变为 \(1\)。

总时间复杂度：\(O(\sqrt n\log n)\)。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
typedef pair<int,int> pii;
#define fi first
#define se second
#define mp make_pair
#define pb push_back
const int N=1e6+10,T=22,INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f,mod=1e9+7,pmod=mod-1;
int qpow(int a,int k){
	int res=1;
	while(k){
		if(k&1)res=res*a;
		a=a*a;
		k>>=1;
	}
	return res;
}
int f(int n){
	int ans=n;
	for(int i=2;i*i<=n;i++){
		if(n%i==0){
			ans=ans/i*(i-1);
			while(n%i==0)n/=i;
		}
	}
	if(n>1)ans=ans/n*(n-1);
	return ans;
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	int n,k;
	cin>>n>>k;
	k=(k+1)/2;
	while(k--&&n>1)n=f(n);
	cout<<n%mod<<endl;
	return 0;
}