二项式反演的证明

摘自学长zsy的PPT。虽然没有原文链接，但为了表示对学长劳动成果的尊重，这里粘贴一个友情链接。zsy学长平时为人大方，上课生动有趣，并且对自己所讲的每个知识点都非常认真。推荐前往他的博客观摩学习。

我们都知道二项式的生成函数：

$$f(x)=(1+x{)}^n=\sum _{k=0}^n{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}{x}^k$$

当我们带入$x=-1$时，会得到这样的式子：

$$f(-1)=(1-1{)}^n=\sum _{k=0}^n{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}(-1{)}^k$$

当$n=0$时，左边的部分没有意义。但右边算出来恰好为$(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{0})=1$。因此我们得到了一个恒等式：

$$\sum _{k=0}^n{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}(-1{)}^k=[n=0]=ϵ(n+1)$$

假设我们知道$f(n)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})g(k)$，那么我们如何用$f(k)$来表示$g(n)$呢？

我们首先拼凑出一个二项式的形式：

$$g(n)=\sum _{m=0}^n[n=m]g(m)=\sum _{m=0}^nϵ(n-m+1)g(m)$$

然后代入上面那个恒等式：

$$g(n)=\sum _{m=0}^n\sum _{k=0}^{n-m}(-1{)}^k{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-m}{k})}g(m)$$

根据组合的意义，不难得到：

$$g(n)=\sum _{m=0}^n\sum _{k=0}^{n-m}(-1{)}^k{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k}{m})}g(m)$$

接下来需要交换求和号。为了方便理解，我这里令$S_{mk}=(-1{)}^k{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k}{m})}g(m)$，那么原式就变成了$\sum _{m=0}^n\sum _{k=0}^{n-m}{S}_{mk}$。

$$\left[\begin{array}{ccccc}{S}_{0,0}& S_{0,1}& \cdots & S_{0,n-1}& S_{0,n}\\ S_{1,0}& S_{1,1}& \cdots & S_{1,n-1}\\ ⋮& \cdots & ⋮\\ S_{n-1,0}& S_{n-1,1}\\ S_{n,0}\end{array}\right]$$

显然，之前的求法是一行一行，从左往右求和。我们同样以一列一列，从上往下求和。因此：

$$g(n)=\sum _{k=0}^n\sum _{m=0}^{n-k}(-1{)}^k{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k}{m})}g(m)$$

提出和$m$无关的系数：

$$g(n)=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}\sum _{m=0}^{n-k}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k}{m})}g(m)$$

注意到$\sum _{m=0}^{n-k}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k}{m})}g(m)$就是$f(n-k)$。因此：

$$g(n)=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}f(n-k)$$

把它改写成更加直观的形式：

$$g(n)=\sum _{k=0}^n(-1{)}^{n-k}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}f(k)$$

这就是二项式反演了。通过它，我们可以利用二项式求和推出不好计算的答案。

说到底，反演还是和容斥脱不了干系。