线性基求交

问题：给定两组线性基 $A=\{u_1,u_2,\cdots,u_a\},B=\{v_1,v_2,\cdots,v_b\}$，它们形成的线性空间的交怎么用一组线性基 $C$ 表示呢？

仔细想想这个问题并不简单，因为如果简单地用 $A$ 中所有能被 $B$ 表示的基向量组出 $C$ 的话是不对的，完全可能基向量不在 $B$ 中但它们的线性组合在 $B$ 中，如 $A=\{5,3\},B=\{6\}$。

那么可能可以考虑重构一下 $A$，尽量用在交空间中的向量来表示 $A$。

如何找出一个非平凡的向量 $w$ 使其在 $A\cap B$ 中呢？我们不妨钦定 $u_1$ 必选以避免 $0$，那么尝试用剩余的所有向量即 $(A\setminus u_1)\cap B$ 来表示 $u_1$。如果表出来了令 $w$ 为在 $B$ 中的向量的异或和以代替 $u_1$ 即可，否则包含 $u_1$ 的向量都不在 $B$ 中，删去 $u_1$ 即可。

可以发现这样处理之后交空间不变且问题得到了简化，那么继续对 $u_2,u_3,\cdots,u_a$ 进行这样的处理，剩下的向量组 $A'=\{w_1,w_2,\cdots,w_{a'}\}$ 满足每个基向量都在 $B$ 中，于是 $A\cap B=A'\cap B=A'$，构建 $A'$ 的线性基即为答案。

整个流程的复杂度瓶颈在于表示每个 $u_i$ 时构建当前 $(A\setminus u_i)\cap B$ 的线性基。可以发现构建时 $u_i$ 以前的向量都在 $B$ 中从而不会产生贡献，我们只需构建 $A_{i+1},\cdots,A_a$ 与 $B$ 的并的线性基，而这可以通过后缀和处理。

那么整个算法过程就是：

构建辅助线性基 $D=B$。
按顺序考虑 $i=a,a-1,\cdots,1$

1. 尝试用 $D$ 表出 $u_i$，若成功则取出 $w=$ 所有在 $B$ 中的向量的异或和 以更新 $C$。
2. 用 $u_i$ 更新 $D$（更新时保持原有基向量不变就可避免属于 $B$ 的部分被修改）。

如果认为异或运算 $O(1)$ 那么算法复杂度为 $O(\log^2 A)$，其中 $A$ 是值域，应该是比较优秀的。