[组合计数] 卡特兰数题目讲解

上承：卡特兰数知识讲解

在学完了卡特兰数的知识之后，我们来看几道例题，研究一下卡特兰数的运用。

例1：luoguP1641[SCOI2010]生成字符串

题意：用 $n$ 个 $1$ 和 $m$ 个 $0$ 拼成的任意前缀都满足 $1$ 的个数不小于 $0$ 的个数的字符串的个数对质数 $20100403$ 取模的结果。 $(1\le m\le n\le10^6)$

题解：我们发现前缀限制与卡特兰数的 $y=x$ 限制很像，于是就考虑将字符串转换为二维平面上的路径，让 $1$ 表示向右走一步， $0$ 表示向上走一步，则前缀个数限制变为不穿过 $y=x$ 这一直线。现在我们要求从 $(0,0)$ 到 $(n,m)$ 的路径条数。我们继续沿用卡特兰的翻转思想，求总路径数-穿过 $y=x$ 的路径数，将穿过直线的路径从其第一个穿过的位置开始翻转，于是终点变为 $(m-1,n+1)$ ，并且穿过直线的路径与翻转后从 $(0,0)$ 到终点的路径一一对应，于是答案就是 $\tbinom{n+m}{n}-\tbinom{n+m}{m-1}$ ，预处理阶乘与其逆元快速计算即可。

启发：该题的模型转换与计数时的思想类比还是很巧妙的，值得学习。

例2：luoguP2532[AHOI2012]树屋阶梯

题意：求用 $n$ 个任意大小的矩形拼成一个高度为 $n$ 的阶梯的方案数。（下图为 $n=3$ 的情况）。（不取模， $1\le n\le 500$ ）

我们考虑以包含左下角的矩形为切入点，它一定会顶到阶梯的右上角（否则覆盖每个右上角的点都需要一个矩形，总个数大于 $n$ ），因此它将阶梯分为两个小阶梯，于是我们在意料之中惊奇地发现它是个卡特兰数并解决了这道题。

启发：选好切入点，将原问题分为两半，这一卡特兰数的思想对我们大有帮助。

好了，你已经掌握了卡特兰数的基本内容，来做一下这道习题吧！

luoguP4769[NOI2018]冒泡排序