数学归纳法应用场景
与正整数有关的数学问题；
（高中数学）证明等式成立、证明数列通项公式成立。
数学归纳法基础结构
1. 证明 n=1 时表达式成立（可能存在特殊情况，把特殊情况单独列出，排除干扰）；
2. 证明 如果当 n=m 时表达式成立，则 n=m+1 时表达式同样成立。
类似多米诺骨牌效应：1 是推到 第一块骨牌；2 是证明 骨牌之间的空隙 足以让 前一块压倒后一块。
（图片来自网络）
循环不变式
循环不变式指的是：在每轮迭代开始前和结束后，我们要操作的数据必须保持的某种特性（比如在插入排序中，数组前面部分必须是递增/递减的）。
循环不变式是进行循环的必备条件，因为它保证了循环进行的有效性。
循环不变式 （loop invariant）用来帮助我们理解算法的正确性。 （出自《算法导论中文版》第二章 2.1 插入排序）
对于循环不变式，必须证明它的三个性质：（与数学归纳法类似，但是归纳步骤是无穷使用的；而循环不变式循环结束相当于终止归纳）
- 初始性：在循环的第一轮迭代开始之前，应该是正确的；
- 保持：如果循环的第一次迭代开始之前正确，那么，在下一次迭代开始之前，它也应该保持正确；
- 终止：当循环结束时，不变时给了我们一个有用的性质，它有助于表明算法是正确的。
循环不变式的应用 属于 算法设计模式中的 增量模式（incremental），算法过程是一个一个往上线性递增推导。
递归
在计算机编程中，递归指函数不断调用自身的过程。
如果用 fn(n) 指代递归函数（其中 n 是正整数），那么 fn(n) 中会调用它自身 fn(n-m) 。
当 fn(n) 中只调用 fn(n-1) 时，此时递归的过程 可以看做是 数学归纳法 的反向过程。
下图是某个比较简单的递归例子，在递归函数中，只调用自身一次，而且是调用 fn(n-1)，可以看出与数学归纳法比较相近。
递归的性质：
1. 一个问题可以分成一个或多个子问题，子问题会更加简单；
2. 不能无限调用自身，当递归到一定程度，子问题可以用非递归方法解决，结束递归。
递归与 数学归纳法 的相同之处：
1. 存在可解的最小子问题；
2. 大问题可以从小问题的结果出发解决；
3. 如果不限制时间空间，都可以解决无限增长的问题。
