特点
1. 针对 数组连续子序列累加和 问题（需要进行频繁的 update、sum 操作）；
2. 并非是树型结构，只是逻辑上层次分明；
3. 可以通过 填坑法 来理解；
4. 中心思想：每一个整数都可以由几个 二进制指数的相加和 来进行唯一表示。
中心思想
每一个整数都可以由几个二进制指数的相加和唯一表示：
11 = 2^3 + 2^1 + 2^0 01011 = 01000 + 00010 + 00001 //二进制表示
在Binary Indexed Tree 中，上述的思想应用体现在：
我们需要下标为 1~11 的元素的累加和， 要 1~8 的累加和，加上 9~10 的累加和， 最后加上 11 的累加和。
填坑法图解 Binary Indexed Tree
数组例子：
数组:[ 0, 2, 0, 1, 1, 1, 0, 4, 4, 0, 1, 0, 1, 2, 3, 0 ] 下标: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
为了简化后续操作，我们将上例中数组下标改为从 1 开始。
第一层：在1~16区间内，在下标为 2的指数 的BIT数组元素位置中，填充 从1开始 到 所有下标为 2的指数（1, 2，4,，8，16） 的区间和。
第二层：在所有未填充区间中，设每个区间开头下标为 start，在下标为 start+2的指数 的BIT数组元素位置中，填充 从start开始 到 下标为 start+2的指数 的区间和。
第三层，依照第二层的填坑方法类推，填充 7~7， 11~11， 13~15 区间。
第四层，以此类推，填充最后一个 坑 15~15。
从上述过程可以看出，Binary Indexed Tree 实际上是个层次分明的结构。
从填坑法的角度来看，就是在每个坑中的第1、2、4、8、16……个位置上，填入从 坑的 start 位置 到 该位置 上所有元素的 sum 值；
第一层只有一个大坑，而第二层的坑 则是第一层填坑后留下的所有空洞位置；第三层的坑则是第一层和第二层填补后留下的所有空洞位置……
从下标的二进制表示来看，坑就是 0 的位置（多个 0 聚一起形成一个大坑）：
第一层 00000 （这里假设第一层是一个大坑） 填坑 00001 （1） 00010 （2） 00100 （4） 01000 （8） 10000 （16）
第二层 00001 00010 00100 01000 10000 （第二层有3个坑） --------------------------------------------------------------------------------------------- 填坑 无 00011（3） 00101 （5） 01001 （9） 无 00110 （6） 01010 （10） 01100 （12）
……
注意区分几个概念：
1. 坑是指什么？从什么位置开始，到什么位置结束？-->下标二进制表示中 0 的聚合形成坑
2. 在BIT数组中填充的究竟是什么？ --> 某个坑中从 坑的开始位置 到 该BIT数组下标位置 的区间和
3. 如果确定每一层要操作的BIT数组下标？
--> 可以根据下标的二进制表示，先确定坑有多大，再把坑中最后一个0变为1，然后把这个1依次左移，直到到达坑的开始位置；
就可以得到一系列需要填充的区间结束位置，结合坑的开始位置，计算出该区间的和，填入 BIT[区间结束位置] 中。
Sum 操作
数字操作原理：
15 -> 14 -> 12 ->8 01111 -> 01110 -> 01100 -> 01000 //从右往左，依次把 1 反转为 0
15 = 01000 （1-8） + 00100 （9-12） + 00010 （13-14） + 00001 （15）
代码实现：
求 1~K 区间和 从 K 开始，依次翻转 K 的二进制表示 的最后一个 1 来获取 K1， K2， ……直至归零，然后： Sum(1~K) = BIT[K] + BIT[K1] + BIT[K2] + ......
翻转最后一个 1 的小技巧：
利用补码 15的补码： 00001111 -15的补码： 11110001 两者按位相与，得到 00000001，即15二进制表示的最后一位1 所以直接让 15 减去 得到的这最后一位1就好。
所以推导下一位的代码是：
BIT[K] = BIT[K - (K & -K)]
时间复杂度
O(logn)
Update 操作
对数组下标6的元素 +2示例：
数字操作原理：
6 -> 8 ->16 00110 -> 01000 -> 10000 00110 + 00010 = 01000 01000 + 01000 = 10000 //让 K 加上其二进制表示的最后一位 1 形成的数字，即可推导出下一项的下标
推导下一项代码实现：
BIT[K] = BIT[K + (K & -K)]
时间复杂度：
O(logn)
Binary Indexed Tree的建立
把初始数组设为全为 0 的数组，然后依次把数组中的元素进行一次 update操作，就完成了 BIT 数组的构建。
时间复杂度：
O(nlogn)
其他观察
以 1 为初始下标，BIT数组中的奇数下标的元素都是直接存了原数组元素的值，而偶数下标的原数组的值也可以通过BIT数组在比较小的消耗情况下得到。
所以，Binary Indexed Tree在一定效率容忍情境下，可以用BIT数组取代原数组，不必保留原数组（省去空间）
BIT数组还可以被拓展到多维的应用？？？？（后续看到相关资料将补充）
参考链接：https://www.cnblogs.com/whensean/p/6851018.html
