字典树基础进阶全掌握(Trie树、01字典树、后缀自动机、AC自动机)
字典树
概述
字典树,又称单词查找树,Trie树,是一种树形结构,是一种哈希树的变种。典型应用是用于统计,排序和保存大量的字符串(但不仅限于字符串),所以经常被搜索引擎系统用于文本词频统计。它的优点是:利用字符串的公共前缀来减少查询时间,最大限度地减少无谓的字符串比较,查询效率比哈希树高。(引自百度百科《字典树》)
光说不懂,上引例——
NKOJ 1934 外地人
你考入大城市沙坪坝的学校, 但是沙坪坝的当地人说着一种很难懂的方言, 你完全
听不懂。 幸好你手中有本字典可以帮你。 现在你有若干个听不懂的方言需要查询字典。
输入格式:
第一行,两个整数n和m。
接下来有n行表示字典的内容,每行表示一条字典的记录。每条记录包含两个空格间隔的单词,第一个单词为英文单词,第二个单词为对应的沙坪坝方言。
接下来有m行,每行一个单词,表示你要查询的沙坪坝方言。
输出格式:
输出m行,每行一个英文单词,表示翻译后的结果。
如果某个单词字典查不到,输出"eh"
样例输入:
5 3
dog ogday
cat atcay
pig igpay
froot ootfray
loops oopslay
atcay
ittenkay
oopslay
样例输出:
cat
eh
loops
注:所有单词都用小写字母表示, 且长度不超过10。
传送门:http://oi.nks.edu.cn/zh/Problem/Details/1934
我们看一下这张图先感受一下Trie树的结构,它是首先建立一个Root根节点,然后在读取后来的字符串的同时,从根节点出发,查找字符串每一位的节点是否存在。若存在,就从这一位出发继续查找下一位;若不存在,就建立这个节点。反复以上过程。注意,Trie树是将字符转换为ASCLL码存取,注意转换。
显然,借用这样的数据结构,我们可以方便存取大量字符串,大幅度优化空间复杂度。
(不知道ASCLL的点这里)
Trie Tree的特点
1. 根节点不包含字符, 除根节点外每一个节点都只包含一个字符。
2. 从根节点到某一节点, 路径上经过的字符连接起来, 为该节点对应的字符串。
3. 在trie树中查找一个关键字的时间和树中包含的结点数无关, 而取决于组成关键字的字符数。 也就是查找字符串s的时间为O(s.length())
4. 如果要查找的关键字可以分解成字符序列且不是很长, 利用Trie树查找速度优于二叉查找树。
如:若关键字长度最大是5, 则利用Trie树, 利用5次比较可以从265=11881376个可能的关键字中检索出指定的关键字。 而利用二叉查找树至少要进行log2265=23.5次比较。
接下来先给出引例题解的main函数部分(部分初始化未给出)——
struct node {
int Num; //如果该节点是一个单词的结尾,记录对应单词的编号
int Next[26]; //儿子节点的编号
}trie[1000001];
string s[100001], a;
int main() {
cin >> n >> m;
for (k = 1; k <= n; k ++){
cin >> s[k] >> a;
Insert(a, k);
}
for (k = 1; k <= m; k ++) {
cin >> a;
ans = Find(a);
if (ans)cout << s[ans];
else cout << "eh" << endl;
}
return 0;
}
接着是两个函数的部分——
void Insert(string c, int k) {
int i, t, len, p = 1;
len = c.length();
for (i = 0; i < len; i ++) {
t = c[i] - 'a';//将字符c[i]转换成值为0到25的数字,比如'a'转换为0,'b'转换为1,‘c’转换为2……
if (trie[p].Next[t] == 0) { //若p没有值为t的儿子
tot ++; //新增一个编号为tot的节点
trie[p].Next[t] = tot; //记下p的值为t的孩子节点的编号
p = trie[p].Next[t]; //p指向新添加的节点
trie[p].Num = 0; //初始化新添加的节点,将其标记为不是单词的结尾
} else p = trie[p].Next[t]; //若p存在值为t的儿子,p指向该儿子,继续讨论
}
trie[p].Num = k; //for循环已执行完,说明第k个单词已加入,在单词结尾做上标记
}
int Find(string c) {
int i, t, len, p = 1;
len = c.length();
for (i = 0; i < len; i ++) {
t = c[i] - 'a';
if (trie[p].Next[t] == 0)return 0; //当前要匹配值为t的字母,若没有则结束
p = trie[p].Next[t]; //若存在值为t的字母,则继续匹配
}
return trie[p].Num; //若for循环执行完毕,说明找到了需要的单词,返回其编号
}
以上的代码几乎就是字典树的模板,在不同的题中main函数或许有所不同,可以借此熟悉一下字典树的工作原理,再酌情修改。
Trie树的应用
(1) 字符串检索
(2) 字符串最长公共前缀
#######提供几道字典树的简单练习:
NKOJ 1931 电话簿
NKOJ 1932 找出克隆人
NKOJ 1933 彩色木条
NKOJ 1935 图书管理员
01字典树
01字典树和普通的字典树原理类似,只不过把插入字符改成了插入二进制串的每一位(0或1)。裸的Trie树可以降低空间复杂度,而01还可以降低时间复杂度。
它与普通的字典树一样先建立Root根节点,但它不存取复杂字符串,而只能存取含有“0”或“1”字符串或数字串。(所以十进制整数可以看做二进制进行存取)以首位为第一个节点建树,按照前面讲解的普通Trie树的工作原理,我们可以得到一个二叉树,而深度由数字范围决定,比如深度为20的01字典树可以进行存取0~221-1的所有数。
后缀自动机
AC自动机
(后续补充)