插值方法笔记

插值方法笔记

插值法简介

插值法的目标是通过已知的离散数据点，构造一个连续函数来估计未知点的值。在实际应用中，随着数据点的增加或问题的复杂化，插值方法也逐步演进。

1. 泰勒插值（Taylor Interpolation）：局部展开的尝试

泰勒插值基于函数在某一点的导数信息进行展开，适合在该点附近做局部插值。

核心公式：

$$f(x)\approx f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{f^{″}(a)}{2!}(x-a{)}^2+\dots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n$$

优缺点：

• 优点：适合局部插值，尤其是函数在某一点附近的估值。
• 缺点：当远离展开点时，误差急剧增加。

泰勒插值的局限性在于它仅适用于局部插值。为了解决全局插值问题，引入了拉格朗日插值。

2. 拉格朗日插值（Lagrange Interpolation）：全局插值的第一步

拉格朗日插值通过构造一个通过所有已知数据点的全局多项式，解决了泰勒插值只局部适用的问题。

插值基函数的概念

在拉格朗日插值中，插值基函数（Basis Function）是每个插值点的多项式，它在该点取值为1，而在其他插值点取值为0。插值基函数的作用是确保插值多项式能够准确地穿过所有已知点。

$$\mathrm{对}\mathrm{于}n+1\mathrm{个}\mathrm{已}\mathrm{知}\mathrm{点}(x_0,y_0),(x_1,y_1),\dots ,(x_n,y_n)\mathrm{每}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{基}\mathrm{函}\mathrm{数}{L}_i(x)\mathrm{对}\mathrm{应}\mathrm{第}i\mathrm{个}\mathrm{插}\mathrm{值}\mathrm{点}。\mathrm{其}\mathrm{形}\mathrm{式}\mathrm{为}：$$

$$L_i(x)=\prod _{\begin{array}{c}0\le j\le n\\ j\ne i\end{array}}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$

$$\mathrm{每}\mathrm{个}{L}_i(x)\mathrm{都}\mathrm{满}\mathrm{足}{L}_i(x_i)=1\mathrm{且}{L}_i(x_j)=0\mathrm{对}\mathrm{所}\mathrm{有}j\ne i，\mathrm{确}\mathrm{保}\mathrm{在}\mathrm{插}\mathrm{值}\mathrm{点}{x}_i\mathrm{处}\mathrm{精}\mathrm{确}\mathrm{取}\mathrm{值}\mathrm{为}{y}_i。$$

核心公式：

$$P(x)=\sum _{i=0}^n{y}_i{L}_i(x)$$

其中，

$$L_i(x)=\prod _{\begin{array}{c}0\le j\le n\\ j\ne i\end{array}}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$

线性插值与抛物线插值

• 线性插值（Linear Interpolation）：在只有两个已知点时，拉格朗日插值简化为线性插值，其形式为：

  $$P(x)=y_0+\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}(x-x_0)$$

• 抛物线插值（Parabolic Interpolation）：当有三个已知点时，插值多项式是二次的，插值曲线是一条抛物线。这个时候，拉格朗日插值的多项式形式为：

  $$P(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}f(x_0)+\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}f(x_1)+\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}f(x_2)$$

  可简写为：

  $$P(x)=y_0{L}_0(x)+y_1{L}_1(x)+y_2{L}_2(x)$$

  其中，

  $$L_0(x),L_1(x),L_2(x)$$

  是拉格朗日基函数。

优缺点：

• 优点：适用于全局插值，确保在每个已知点上精确取值。
• 缺点：随着数据点增加，计算复杂度增加，且可能出现数值不稳定（例如Runge现象）。

拉格朗日插值的复杂性和不稳定性使得我们需要更加灵活的方法，于是引入了牛顿插值。

3. 补充：插值余项与事后估计法

插值余项

在插值过程中，插值多项式 P_n(x) 可能与真实函数 f(x) 存在误差。为了评估这种误差，我们引入插值余项（remainder term）。对于拉格朗日插值，插值余项的表达式为：

$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}\prod _{i=0}^n(x-x_i)$$

事后估计法

在使用插值法时，事后估计法提供了一种方法来评估插值的精度。具体做法是比较两次插值计算的结果，来判断插值的误差。例如，在使用艾特金算法时，我们可以根据前一次和当前插值结果的差异来估计插值的精度。若两次结果接近，则说明插值精度较高；若结果差异较大，则可能需要更多的插值点或更高阶的插值方法。

4. 艾特金算法（Aitken's Algorithm）：高效且增量的插值

艾特金算法是基于逐步构造的插值方法，它通过减少重复计算，提高了插值计算的效率。

引入艾特金算法的原因

拉格朗日插值需要构造全局多项式，当插值点增加时，需要重新计算整个插值多项式，计算量大。艾特金算法通过逐步迭代的方式，只使用部分点的插值结果，避免了重复计算。

核心思想：

艾特金算法通过构造一个递推公式，在每一步只使用前一步的计算结果，从而逐渐逼近最终的插值多项式。它的递推公式为：

$$P_{i,j}(x)=\frac{(x-x_j)P_{i,j-1}(x)-(x-x_i)P_{i+1,j}(x)}{x_i-x_j}$$

$$（\mathrm{其}\mathrm{中}{P}_{i,j}(x)\mathrm{是}\mathrm{从}i\mathrm{到}j\mathrm{的}\mathrm{已}\mathrm{知}\mathrm{点}\mathrm{的}\mathrm{插}\mathrm{值}\mathrm{多}\mathrm{项}\mathrm{式}）$$

优缺点：

• 优点：插值过程中无需重新计算所有数据点，适合逐步增加点的插值场景。

• 缺点：尽管提高了效率，但在某些复杂场景中仍可能出现不稳定现象。

  并且我们可以通过艾特金算法的推导来证明对线性插值的结果再计算线性插值的结果与抛物线插值相同。

  艾特金算法的特点就在于将一个高次插值的过程归结为线性插值的多次重复

5. 牛顿插值（Newton Interpolation）：灵活且增量更新

艾特金算法通过简化计算提高了效率，但在插值精度上，仍有进一步改进的空间，这就引出了牛顿插值。牛顿插值通过差商（divided differences）来计算插值多项式的系数，并通过增量方式动态添加新数据点。

差商概念

差商是牛顿插值的核心概念，用来计算多项式中的系数。对于给定的一组已知点

$$(x_0,y_0),(x_1,y_1),\dots ,(x_n,y_n)$$

其差商的定义如下：

• 一阶差商：
  $$f[x_0,x_1]=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$$

• 二阶差商：
  $$f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}$$

依此类推，可以计算更高阶的差商。

牛顿插值公式

牛顿插值有两种形式，分别是牛顿前插公式（forward interpolation formula）和牛顿后插公式（backward interpolation formula）。

• 牛顿前插公式：

  $$P(x)=f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)+\cdots$$

• 牛顿后插公式：

  $$P(x)=f(x_n)+f[x_{n-1},x_n](x-x_n)+f[x_{n-2},x_{n-1},x_n](x-x_n)(x-x_{n-1})+\cdots$$

优缺点：

• 优点：牛顿插值支持增量更新，适合动态数据的插值计算。
• 缺点：尽管灵活，但在面对高次多项式时仍可能引发数值不稳定性。

牛顿插值提供了灵活性和增量计算，但它仍然是基于多项式的形式。面对高阶插值，尤其是当导数信息已知时，可以引入埃尔米特插值（Hermite Interpolation）。

6. 埃尔米特插值（Hermite Interpolation）：引入导数信息

埃尔米特插值是一种可以利用函数值和其导数信息的插值方法。在某些实际场景中，除了已知点的函数值外，我们可能还知道这些点的导数值，这时埃尔米特插值可以通过同时使用函数值和导数值来构造插值多项式。

核心思想：

埃尔米特插值扩展了拉格朗日插值和牛顿插值的思想，除了插值点的函数值外，还引入了点的导数值，从而在插值点处不仅逼近函数值，还逼近其导数。