CF1648D 简单清楚的做法

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CF1648D 简单清楚的做法

我自己做这题没做出来，看网上题解都有点难看懂，自己搞一个

前置知识

线段树维护： 对于两个序列 $a,b$，给定 $l,r$，询问：$\max (a_i+b_j),l\le i\le j\le r$。

区间维护： $a$ 的最大值，$b$ 的最大值，区间答案。

考虑 $i,j$，如果都在两边，调用左右两边的ans，否则就是左边 $a$ 最大值 $+$ 右边 $b$ 最大值。

正片

显然我们只需要关心什么时候进第二行和什么时候出第二行即可。

设 $f(i)$ 表示走到第二行的 $i$ 位置，算上解锁区间的代价，最大的收益。答案为 $\max(f(i)+sum3(i...n))$。

（注：后面用 $sum(l...r)$ 表示区间和，$s(i)$ 表示前缀和，$s_1,s_2,s_3$ 表示1/2/3行）（均为前缀和，没有后缀和）

考虑 $f(i)$ 的转移。注意到 $i$ 这个位置一定有一个区间覆盖到它。考虑覆盖 $i$ 的区间 $[l,r],cost=w$。

• 转移case1 它不是第一个解锁区间

如果它不是第一个解锁的区间，那我们可以直接从 $f(l-1)$ 转移过来，而不需要枚举 $j\ge l-1$ 转移。

原因是不管 $j$ 取在哪，最后的总和一定都是：第二行选择的区间和 $-$ 解锁区间的代价和。因此没必要枚举 $j$ ，直接取 $l-1$ 就行了。

这个情况的转移为 $f(i) \leftarrow f(l-1)+sum2(l...i)-w$。

• 转移case2 它是第一个区间

这回没法直接继承了，枚举 $j$ 是必要的。枚举 $l\le j\le i$ 表示从 $j$ 位置进入第二行。

这个情况的转移为 $f(i)\leftarrow s_1(j)+sum2(j...i)-w$。

• 边界

注意到我们不需要给转移2设置边界，它本身就相当于边界（与其说是转移，它更像是在求一个式子的值，因为它并不依赖于 $f$）。而转移 $1$ 则强制要求当前的 $[l,r]$ 不是第一个区间，从而 $l=1$ 从 $0$ 转移过来是不合法的。因此我们要令 $f(0)=-\infin$。

注： $a\leftarrow b$ 表示用 $b$ 更新 $a$，这里是取 $\max$。

它的复杂度显然不对，考虑优化。

首先我们显然可以用扫描线相关技巧动态维护当前包含 $i$ 的区间 $[l,r],cost=w$ 的集合。就是枚举到 $i$ 时，加入 $l=i$ 的区间，删除 $r+1=i$ 的区间。

• 优化转移1

变成 $f(l-1)+s_2(i)-s_2(l-1)-w$。要么只和 $i$ 有关，要么只和 $l$ 有关。

我们要求 $\max$ 并且支持加入和删除，用 multiset 维护所有包含 $i$ 的区间中， $f(l-1)-s_2(l-1)-w$ 的集合即可。

• 优化转移2

变成 $s_1(j)+s_2(i)-s_2(j-1)-w$。其中 $1\le l\le j\le i$。

对于同一个 $l$，我们只关注 $w$ 的最小值（即 $-w$ 最大值）。把项提取一下，设 $A(l)=\max(-w),r\ge i$，$B(j)=s_1(j)-s_2(j-1)$。它相当于 $\max(A(l)+B(j)),1\le l\le j\le i$。

对于每个 $l$ 维护一个 multiset 表示所有 $\ge i$ 的 $r$ 中， $-w$ 的集合。当我们加入/删除区间时，先更新这个multiset，然后这里的最大值就是新的 $A(l)$，在线段树上单点修改 $A(l)$ 更新即可。注意 $B$ 不需要更新。

然后 $f(i)$ 就是 $s_2(i)$ 加上线段树上 $[1,i]$ 的答案。

这样的话操作之后改multiset和线段树，都是一个 $\log$。

复杂度 $O((n+q)\log n)$。

评价

看了其它题解，线段树里都有很多东西，维护一堆复杂的tag。这里用multiset干了许多活，减少了线段树的负担。注意到这里的线段树就一个单点改和一个查询。

当时间空间不卡的时候，尽量用STL替代手写功能。用STL只要稍微想一下就不容易出错了，自己写的话有时要小心更多细节。

代码

// 注：NNF 表示 -INF （Negative INF）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1000006
#define int long long
#define F(i,l,r) for(int i=(l);i<=(r);++i)
#define D(i,r,l) for(int i=(r);i>=(l);--i)
#define MEM(x,a) memset(x,a,sizeof(x))
int I(){int x=0,f=0;char c=getchar(); while(!isdigit(c))f=(c=='-'),c=getchar(); while(isdigit(c))x=x*10+c-'0',c=getchar(); return f?-x:x;}
#define vi vector<int>
#define eb emplace_back
#define sz(x) ((int)x.size())
#define al(x) x.begin(),x.end()
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define lwrb lower_bound
#define uprb upper_bound
#define mset multiset<int>
#define t3 tuple<int,int,int>
const int INF=1e18,NNF=-1e18;
void del1(mset&s,int x){auto it=s.find(x);if(it!=s.end())s.erase(it);}
int gmx(mset&s) {return *prev(s.end());}

int n,m; int a[4][N],s[4][N];
vector<t3> rg;

struct nd{int l,r,k;}r[N];

vi ad[N],dc[N];
mset rec1,rec2[N];
int A[N],B[N];
struct info{int ma,mb,mx;};
info operator+(info a,info b){return (info){max(a.ma,b.ma),max(a.mb,b.mb),max({a.mx,b.mx,a.ma+b.mb})};}
struct SegT
{
#define ls u<<1
#define rs u<<1|1
#define ll ls,L,o
#define rr rs,o+1,R
	info a[N]; 
	void up(int u) {a[u]=a[ls]+a[rs];}
	void build(int u=1,int L=1,int R=n)
	{
		if(L==R) {a[u]=(info){A[L],B[L],A[L]+B[L]}; return;} 
		int o=(L+R)>>1; build(ll);build(rr);up(u);
	}
	void ca(int p,int x,int u=1,int L=1,int R=n)
	{
		if(L==R) {a[u].ma=x; a[u].mx=a[u].ma+a[u].mb; return;}
		int o=(L+R)>>1;
		if(p<=o)ca(p,x,ll); else ca(p,x,rr); up(u);
	}
	info qr(int l,int r,int u=1,int L=1,int R=n)
	{
		if(l<=L && R<=r)
		{
			return a[u];
		}
		int o=(L+R)>>1;
		if(r<=o)return qr(l,r,ll); if(o<l) return qr(l,r,rr);
		return qr(l,r,ll)+qr(l,r,rr);
	}
}T;
int f[N];
void flandre()
{
	n=I(),m=I();
	F(i,1,3)
	{
		F(j,1,n) a[i][j]=I();
		F(j,1,n) s[i][j]=s[i][j-1]+a[i][j];
	}
	F(i,1,m) {int l=I(),r=I(),w=I(); rg.eb(l,r,w);}
	F(i,0,sz(rg)-1) {auto [l,r,w]=rg[i]; ad[l].eb(i); dc[r+1].eb(i);}
	rec1.insert(NNF); F(i,1,n) rec2[i].insert(NNF);
	F(i,1,n) A[i]=gmx(rec2[i]),B[i]=s[1][i]-s[2][i-1];
	T.build(); f[0]=NNF;
	F(i,1,n)
    {
		for(auto x:ad[i]) 
		{
			auto [l,r,w]=rg[x];
			rec1.insert(f[l-1]-s[2][l-1]-w);
			rec2[l].insert(-w);
			A[l]=gmx(rec2[l]); T.ca(l,A[l]);
		}
		for(auto x:dc[i])
		{
			auto [l,r,w]=rg[x];
			del1(rec1,f[l-1]-s[2][l-1]-w);
			del1(rec2[l],-w);
			A[l]=gmx(rec2[l]); T.ca(l,A[l]);
		}
		f[i]=gmx(rec1)+s[2][i];
		f[i]=max(f[i],T.qr(1,i).mx+s[2][i]);
	}
	int ans=NNF;
	F(i,1,n) ans=max(ans,f[i]+s[3][n]-s[3][i-1]);
	printf("%lld\n",ans);
}
#undef int
int main()
{
	int t=1;
	while(t--)flandre();
	return 0;
}