【博弈论】SG(Sprague–Grundy)定理证明和Nim游戏正确性证明
【博弈论】SG(Sprague–Grundy)定理证明和Nim游戏正确性证明
网上好像都是引用的维基，或者证的很不严谨
这里提供一个稍微严谨一点的证明，SG的部分基本上参考了维基 （自己想过，没想出来www）
要转载的话随便转载，就是不知道这垃圾玩意有没有转载的必要啊
定义
公平组合游戏，Nim游戏
满足如下条件的游戏被称为公平组合游戏：
- 两人轮流操作
- 如果有人不能操作，那么他就输了
- 对于当前状态，可以做的决策只与状态有关，和哪个人操作无关
Nim游戏：有 \(n\) 堆石子，二人轮流操作，每人可以在某堆中任意取若干个，但不能不取。如果某人不能取了那么它就输了。
常见的棋类就不是公平组合游戏，因为你不可以动别人的棋子。但Nim就是公平组合游戏，因为任何一方都可以拿任何一堆中的石子。
描述一个局面
对于一个局面，我们其实只关心它能到达哪些局面，因此我们用集合来描述一个局面，集合中包含它能到达的后继局面。 （因此你如果要展开这个集合，你会看到很多集合套集合）。如果它没有后继局面（即无法操作），我们用空集描述它。
特殊地，我们记 \(*n\) 表示一堆含有 \(n\) 个石子的Nim局面。容易发现 \(*n=\{*0,*1...*(n-1)\}\)，是一个递归的结构。如果要展开就会变成集合套集合。
比如 \(*4=\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}\)。
对于一个局面，如果是先手必胜，我们说它是 \(N\) 的，否则就是 \(P\) 的。
关于胜负情况，好像没有找到相关的函数描述。这里我们用 \(win(S)\) 表示局面 \(S\) 的胜负情况，其值为 \(P\) 或者 \(N\)。
判定局面的胜负性：
- 如果当前局面可以到达 至少一个 \(P\) 局面，那当前是 \(N\) 局面
- 如果当前局面后继 全部都是 \(N\) 局面，那当前是 \(P\) 局面
局面间的关系
局面的和：对于两个局面 \(S,S'\)，定义 \(S+S'\) 表示：现在同时进行 \(S\) 和 \(S'\) 两个游戏，两边都不能操作就算输，这样的一个局面。如何描述它呢？
很明显，如果你要走一步，要么走 \(S\) 的一个后继，要么走 \(S'\) 的一个后继。比如说你走了 \(S\) 的后继 \(s\)，那接下来就是 \(s\) 和 \(S'\) 两个游戏同时进行，是一个子结构。另一边同理。因此我们可以写出这样的定义式：
\(S+S'=\{s+S'|s\in S\}\cup\{S+s'|s'\in S'\}\)
把它递归展开就可以得到 \(S+S'\) 局面的集合表达了。当然，这一般只用于给出形式化的定义，实际上不会用，因为复杂度爆炸。当我们需要考虑两个局面相加时，通常我们是根据意义来理解这件事情，想象发生了什么，并描述出关系，而不会用它来暴力展开。比如说你可以很容易发现，局面的相加满足交换律和结合律。
局面的等价性：通常在我们研究问题的过程中，如果有两个东西，把一个换成另一个不会影响问题，我们就说它俩等价
局面的等价怎么描述？如果根据输赢，你会发现，只要 \(n>0\)，\(*n\) 就是 \(N\) 的。但显然我们很有必要关心每一堆里具体有多少石子。因此只根据输赢描述肯定不行。
我们发现问题出在把局面组合起来的时候。因此我们这样描述：对于局面 \(G,G'\)，\(\forall H,win(G+H)=win(G'+H)\) （这里的等于是指输赢情况相等），则我们说 \(G\) 和 \(G'\) 等价，记作 \(G\approx G'\)。
SG 定理
SG 定理是说，对于每个局面 \(S\)，都存在恰好一个 \(n\) 使得 \(S\approx *n\)。并且 \(n\) 的值为所有 \(S\) 的后继状态 \(n\) 值的 mex。这个 \(n\) 值就是 \(SG\) 函数的值 \(SG(S)\)。
SG 的另一个性质是，若 \(S=A_1+A_2...+A_n\)，则 \(SG(S)=SG(A_1)\oplus SG(A_2)\oplus...\oplus SG(A_N)\)，其中 \(\oplus\) 为 Nim 和，也就是我们熟悉的异或和。关于这个的证明：首先使用 SG 定理，然后参考【Nim游戏的正确性证明】，得到它是对的。这个放在 SG 定理证明的后面。
证明
引理1
对于一个 \(P\) 的局面 \(A\) 和任意局面 \(G\)，\(G\approx G+A\)。
对于任意 \(H\)，需要满足 \(win(G+H)=win(G+H+A)\)。分类讨论。
如果 \(win(G+H)=P\)，那么 \(win(G+H+A)\) 一定也是 \(P\)。为什么呢？整个局面可以看成 \((G+H)+A\)，由两个后手必胜的局面组成。无论先手在哪个部分操作，后手都可以用对应的必胜策略来应对。两边后手都不会输，因此总局面也一定是后手必胜。
如果 \(win(G+H)=N\)，那么 \(win(G+H+A)\) 一定也是 \(N\)。同样分成 \(G+H\) 和 \(A\) 两部分，\(G+H\) 是先手必胜的，先手按必胜策略在这里操作一步后，就形成两个先手必败的局面给后手。按照上一种情况中的讨论可知，操作完这一步后的先手（即原来的后手）必败。 那也就是原来的先手必胜，就是
引理2
\(win(G+G')=P \iff G\approx G'\)
考虑 \(G+G+G'\)。
一方面它等于 \((G+G)+G'\)。发现 \(G+G\) 一定是后手必胜的，因为后手可以和先手做对称的操作，只要先手能走，后手就一定能走，后手永远不会输。因此它是一个 \(P\) 的局面 \(+G'\)，根据引理1知它等价于 \(G'\)
另一方面它等于 \(G+(G+G')\)，由于 \(G+G'\) 是 \(P\) 的，所以它等价于 \(G\)。
从而 \(G\approx G+G+G'\approx G'\)。
前置知识：结构归纳法
结构归纳法可以看成是数学归纳法在DAG上的拓展：我们先说明一些命题是对的，然后命题之间存在依赖关系（无环），对于每个依赖关系证明：若前置命题对，则某命题对，从而推得所有命题都对。
数学归纳法可以看成是对一条退化成链的DAG进行结构归纳法
SG定理的证明
我们使用结构归纳法证明：首先没有后继状态的局面等价于 \(*0\)，然后对于局面 \(S\)，我们证明：如果它的后继中SG定理成立，那么 \(S\) 中SG定理成立。
即，设：对于局面 \(S=\{S_1,S_2...S_k\}\)，假设 \(S_1,S_2...S_k\) 都等价于一些单堆 Nim 游戏，设它们为 \(*n_1,*n_2...*n_k\)，那么存在 \(m\) 使得 \(S\approx *m\)，并且我们知道 \(m=mex\{n_1,n_2...n_k\}\)
显然 \(S\approx S'=\{*n_1,*n_2...*n_k\}\)。 考虑证明 \(S'\approx *m\)。
根据引理2，这件事情等价于 \(win(S'+*m)=P\)。分类讨论
- 假设先手在 \(S'\) 中操作，走到了 \(*x\)。若 \(x<m\)，显然后手可以在 \(*m\) 中也走到 \(*x\)，变成两个相同局面同时进行，显然是后手必胜。如果 \(x>m\)，那么后手可以继续在 \(*x\) 中操作，走到 \(*m\)，又变成两个相同局面，后手必胜。
- 假设先手在 \(*m\) 中操作，走到了 \(*x\)，那显然后手就在 \(S'\) 中走，走到 \(*x\)，后手必胜
综上，\(win(S'+*m)=P\)，从而 \(S'\approx *m\)。又因为 \(S\approx S'\)，从而 \(S\approx *m\)。
Nim游戏正确性证明
我们知道，取 \(a_i\) 的异或和，大于 \(0\) 就是先手必胜，为 \(0\) 就是后手必胜。
我们使用数学归纳法证明。设命题 \(P(k)\) 表示：当 \(\sum a_i\le k\) 时，结论成立。
显然 \(P(0)\) 成立，因为此时 \(a_i\) 一定全 \(0\)，异或和为 \(0\)，后手胜。
下证： 当 \(P(k-1)\) 成立时， \(P(k)\) 成立。
设此时 \(a_i\) 的异或和为 \(x\)。分类讨论：
若 \(x>0\)，设 \(x\) 二进制最高位为 \(2^p\) 位。那么一定有至少一个 \(a_i\)，它的 \(2^p\) 位为 \(1\)。我们把 \(a_i\) 变成 \(a_i\oplus x\)，那么 \(a_i\) 比 \(p\) 高的位不变，\(p\) 位上由 \(1\) 变成 \(0\)，不管后面怎么变 \(a_i\) 都会变小。这样一来，所有 \(a_i\) 的异或和变成了 \(0\)，并且和一定 \(<k\)。根据 \(P(k-1)\) 成立，此时的 \(a_i\) 的后手必胜。也就是说原来的 \(a_i\) 先手必胜。
若 \(x=0\)，无论先手如何操作，和都会变小，并且异或一定会变成一个非 \(0\) 的数。（将 \(a\) 变成 \(a'<a\)，异或和变化为 \(a\oplus a'\)，当且仅当 \(a'=a\) 时它可以为 \(0\)，由于 \(a'<a\)，因此它一定不为 \(0\)）根据 \(P(k-1)\) 成立，此时的 \(a_i\) 先手必胜，也就是原来的 \(a_i\) 后手必胜。
综上，\(P(k-1)\) 成立时，\(P(k)\) 成立。
证明概括
SG：你发现一个SG值和单堆Nim唯一的不同在于它可以变大，但是变大的话你显然可以再变回来，所以和单堆Nim等价
Nim：你发现你找一个最高位重合的异或一下就可以把非0的异或和变成0，并且异或和为0时无论如何都会变成非0
