神秘姿势：把 K(2n) 分解成 2n-1 组完美匹配

这个姿势实在yhx的做题记录里看到的！大家可以去膜拜原题解

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符号说明

$K(n)$：$n$ 个点的完全图

完美匹配：对于 $2n$ 个点，一个大小为 $n$ 的匹配就是完美匹配，也就是每个点都有恰好一个点跟它匹配。

姿势

这里的分解指的是对边集的分解。也就是说，$K(2n)$ 一共有 $\dfrac{2n(2n-1)}{2}=n(2n-1)$ 条边，一个匹配有 $n$ 条边，咱把它分成 $2n-1$ 个部分，满足每个部分都是一组完美匹配的边。

举例：$4$ 个点，我们把它这样分解

$$\begin{cases} (1,2),(3,4)\\ (1,3),(2,4)\\ (1,4),(2,3)\\ \end{cases}$$

就是其中一种分解方法。

具体的，如何做呢？首先我们任选一个点，把它摆在中间，剩下 $2n-1$ 个点围成一圈排起来。

不妨设中心点为 $O=a_{1}$，剩下的点是 $a_2,a_2...a_{2n}$。

每次选一个 $i\in[2,2n]$，连边 $O\to a_i$，剩下的 $2n-2$ 个点以 $i$ 为对称轴，两两匹配。注意这个“对称”是在环上对称。而且注意，是剩下的 $2n-2$ 个点，实现的时候务必判掉 $1$ 和 $i$ 两个点，要绕过去。

yhx的博客上有一张gif如下

应用

1. 解决 这个题
2. 解决 这个题
   (todo)
3. blablabla