NOIP Camp #2 比赛记录

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NOIP Camp #2

赛时：100+15+5+20

赛后：100+100+100+20

题解

A: 3-格雷码

题意：给定 $n$，把 $0...2^n-1$ 中的每个数排成一个环，使得相邻两个位置的数异或起来, popcount=3。$n\le 23$。

可以用经典格雷码的那个构造，我们先构造 n=4，然后每次倍增。

如何倍增呢？把它复制一遍，左边最高位加上0，右边最高位加上1。但这不一定满足异或起来popcount=3的条件。那咋办呢？

显然，对于一个解，循环位移后依然是一个解（环）。然后我们先找到一个满足条件的位置，然后循环位移把它移动到分界点，就可以满足分界点的条件了。

具体的，设当前是 $a_1...a_n$。循环位移，相当于对一个 $p$，把 $a$ 变成 $a_{p+1}...a{n},a_1,a_2...a_{p}$。找到一个 $p$，使得 $pc(a_p\oplus a_1)=2$，且 $pc(a_{p+1}\oplus a{n})=2$。然后把 $p$ 循环位移过去就行了。$pc$ 表示 popcount。

但这个 $p$ 不一定能找到。因此，我们每次做完之后，把 $a$ 随机的循环位移。然后这样就能找到了！（迫真）（还真能）

B

题意：有 $n$ 个向量，划分成 $A,B$ 两个集合，选择一些进入 $A$，剩下的为 $B$，两个都可以空。设 $a,b$ 表示 $A,B$ 集合向量的和。最大化 $|a-b|$。$n\le 2\times 10^5$。

最优解的选择一定是：我拿一根过原点的直线劈开所有向量，在一侧的放到A，另一侧的放到B。

这看起来很对，因为这样选择之后，$a$ 和 $-b$ 大致上都指向着垂直这根直线的方向，当两个向量是指向同一个方向的时候，它俩加起来模长就会变大。

稍微理性一些，我们发现，如果有一个向量在直线的左侧，且我们的大方向是左A右B，也就是说最后 $a-b$ 是指向直线左侧的。如果此时我们把一个A中的向量换给B，它显然会让答案变小。

因此，我们把向量按极角排序后，用一个单调队列取和它不超过180°的，更新答案，就一定能取到最优解。

技巧：对于一堆二维的点，顺序不重要的时候，除了考虑按 $x,y$ 坐标排序，也可以考虑按极角排序，尤其常用于和计算几何有关的题目中

C

你有两个长度位 $n$ 的序列 $A,B$。每次可以选择 $A$ 中的一个位置，花费 $1$ 的代价，把它拿出来并插入到前面的任意一个位置。要把 $A$ 变成 $B$，最小化花费的代价。保证有解。$n\le 2\times 10^4$，复杂度 $O(n^2)$ （oj跑的快）

对于动的问题，我们考虑什么不动。

假设有一些位置一开始就钦定好了不动它们，有 $m$ 个，答案就是 $n-m$，加入我们真能做到不动它们。

那一个必要条件是，它们得是公共子序列。但这不充分。

我们考虑，$A$ 中第一个不动位置之前的那些位置，只会多东西不会少东西。然后再考虑发现，第二个不动位置的前缀，第三个的前缀，...这些集合都是只增不减的。

因此，对于每个不动位置，它在 $A$ 中的前缀，一定是它在 $B$ 中前缀的子集。发现，这样就充分必要了。

对着这个dp：像最长公共子序列一样，$f(i,j)$ 表示 $A$ 中匹配到 $i$，$B$ 中匹配到 $j$，最多匹配多少个。同样 $f(i,j)=\max\{f(i-1,j),f(i,j-1)\}$。如果 $i,j$ 满足 $a_i=b_j$，且 $a[1,i]\subseteq b[1,j]$，那么 $f(i,j)$ 再用 $f(i-1,j-1)+1$ 更新。

比赛实况

首先开始玩 $A$，约1h玩出来了。其实不到1h，因为这里还有我看每道题，各想一会的时间。

B,C 都是我不擅长，或者说，特别不擅长的最优化问题。我的第一反应就是，看起来好简单，但我就是不会啊。鬼才想得到最优策略啊。

然后我就打了两个随机化（注意到我A题也是随机化，那我其实打了3个随机化）。D题是个大毒瘤，但是数论我可能会（？），我就去做了D。但那个题是真毒瘤，NOIp，全场没人过，最高40还是贺的板子。

我这次做题的态度十分消极，不想着去动脑子，想做法，只想着怎么骗到更高分。我记得我看过duyils的博客，里面有一句话可以形容我在干啥：

那时候脑子已经不转了，不想新思路了，只是在东修修，西补补，做些无用的“优化”。与此同时，心理的贪婪又让我停不下这些工作。我后来讲，不要用修修补补、调参乱搞的手头勤快，来掩盖思维的懒惰，这也是很多次比赛后才悟出来的道理。

—— dyls OI生涯回忆与经验分享（更新中）

赛后和rank1的选手简单交流了一下，我觉得还是要手玩。尽管样例水的要死，一眼就看出来了，也应该自己构造几个小样例，玩一玩看看如何达到最优解。

顺便，B题暴露了我的数学基础的欠缺。尽管我知道向量的那些东西，但实际用起来，却还不够熟练到拿这些东西来考虑并解决问题。