数论 专题整理

东西多，而且比较高妙，和数学的关系较大。

没写完，才写了一点，先去冲csp了，冲完再更

基础

质数, 分解质因数，整除，互质，gcd/lcm

放一起是因为都很基本

trick: 利用质因子间的独立性, 分解问题

例1

求 $1...n$ 所有数的 lcm，$n\le 10^8$，1s

先筛出来质数。考虑这些数的lcm，就是每种质数取最高次

最高能取多少次？对于每个 $p$，取最大的 $k$ 使得 $p^k\le n$，那它就是 $k$ 次。

枚举每个 $p$，计算 $k$，乘起来。

复杂度: $O(\dfrac{n}{\ln n}\times \log n)=O(n)$

例2 SDOI2008沙拉公主的困惑

这里用到一个东西: 互质的规律性

对于一个 $p$，设 $f(i)$ 表示 $i$ 是否与 $p$ 互质 （1互质，0不互质），那么 $f(i)=f(i+p),\forall i\in \N^{*}$

那对于这个题，计算出 $\varphi(m!)\times \dfrac{n!}{m!}$ 即可。

$\varphi(m!)$ 就把 $m$ 分解质因数计算即可。讨论一下 $m>mod$ 的情况。

例3 CF1295D

$\gcd(a,m)=\gcd(a+x,m),x\in [0,m)$

首先把 $a,m$ 约掉一个 $\gcd$。然后就变成：

计算多少 $x\in[0,m)$ 满足 $gcd(a+x,m)=1$，也就是 $a+x$ 和 $m$ 互质

根据互质的规律性，我们发现这玩意可以平移，然后就等价于有多少个 $x$ 和 $m$ 互质。这玩意就是 $\varphi(m)$。

考虑到我们约掉了一个 $\gcd$，也就是说，答案是

$\varphi(\dfrac{m}{\gcd(a,m)})$

例4 CF615D

求 $n$ 所有因数的积。$n$ 用分解质因数的形式给出，质数的个数 $\le 2\times 10^5$，每个质数都在 $2\times 10^5$ 以内。

有一个东西：$n$ 的因数，相当于是 $n$ 分解质因数后每个 $p^k$，选择一个指数 $c(c\le k)$，然后把 $p^c$ 乘起来。这个方法可以得到 $n$ 的所有因数。

因此，我们用这个生成法，考虑每个质数 $p$ 的贡献，设它是 $k$ 次。那它显然可以取 $1,2,3...k$ 次，都可以。这些乘起来就是 $p^{\frac{k(k+1)}{2}}$。

然后它被算了多少次呢？显然，其它的质因数可以随便取，每取一次就会把它算一次。那把其它质因数的指数 $+1$ 乘起来，就是它被算的次数。

然后把每个贡献乘起来就行了。