神秘技巧：O(n lnln n) 的dirichlet卷积

要求其中一个是积性函数，另一个可以任意。

其实就是在质因数分解的意义下做高维前缀和。

高维前缀和

对于二维前缀和，我们也许可以直接推 s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j]

而我们也可以

s[i][j]=s[i][j-1]+a[i][j]

然后

s[i][j]=s[i-1][j]+a[i][j]

以实现二维的前缀和。

换句话说我们可以先枚举维，然后对每一维做前缀和。

这里咋做

我们设 \(f\) 是那个积性函数，\(g\) 是任意的。

首先我们枚举“维”。维是啥？自然就是每个质数

注意到一个积性函数在 \(p^1,p^2...p^k\) 处的值是不确定的。我们需要枚举它，相当于钦点 \(p\) 的次数。然后做一个如下操作：

\(g(i)\times f(p^k)\to g(i\times p^k)\)。

注意到这里钦点 \(p^k\) 是指恰好 \(f\) 那里的 \(p\) 就是 \(k\) 次。所以我们需要倒着枚举 \(i\)，类似背包的考虑，否则会导致重复贡献。

然后就枚举质数 \(p\)，倒着枚举 \(i\)，枚举 \(p^k\)，做一个前缀和就行了。

这样的复杂度据说是 \(O(n\log\log n)\) 的。实际跑出来也比 \(O(n\ln n)\) 快很多。

特殊情况

如果 \(f\) 是完全积性函数，那你只需要这样做：

for(p: primes)
{
    for(int i=1;i<=n/p;++i)
    {
        g[i*p]+=g[i]*f[p];
    }
}

同样是 \(O(n\log\log n)\) ，常数略小些。