NOIP Camp #1 比赛记录
NOIP Camp #1
某机构举办的noip/csp冲刺营。
题意&题解
A
定义函数 \(f(a_1,a_2...a_n)\) 为：
其中 \(\oplus\) 表示二进制按位异或运算。
（注意仔细看题，并不是 \(a_1...a_n\) 的异或和！）
多组询问。每次给定 \(L,R\)，求 \(\max \{f(a_l,a_{l+1}...a_{r}),\ L\le l\le r\le R\}\)
\(n\le 1000,m\le 10^6\)。
题解：注意到 \(n\le 1000\)，考虑处理每对 \(F(l,r)\) 表示 \([l,r]\) 区间的答案。
设 \(f(l,r)\) 表示 \(f(a_l...a_r)\)。注意到它等于 \(f(l,r-1)\oplus f(l+1,r)\)。
然后两维求个前缀max就可以得到 \(F\)。
复杂度是 \(O(n^2) - O(1)\) 的。
B
给定 \(n,m\)，求有多少 \(x\) 满足：
- \(x\in [0,n]\)
- \(\forall k, x\mod 10^k\ge m\mod 10^k\)
\(n,m\le 10^{50}\)
题解：很明显它说的就是每一位都 \(\ge m\) 对应的那一位。
然后类似数位dp，处理一下卡界就行了。
C
有 \(n\) 盏灯排成一列，初始所有灯均为熄灭状态。
你需要对这 \(n\) 盏灯进行 \(n\) 次操作。
对于第 \(i\) 次操作，选取 \(i\) 的所有质数倍标号的灯，将它们的状态取反（点亮变为熄灭，熄灭变为点亮）。
你需要回答最终有多少盏灯为开启状态。
90pts: \(n\le 5e7\)
时限2s。
题解：这题我只会90pts
首先线性筛出所有质数，然后模拟它的过程，直接就是 \(n\log\log n\) 的，可以获得 \(1e6\) 的部分分。然而，过 \(1e7\) 需要少量的乱搞。尽管是乱搞，它对思路的启发也很有意义。
分析一波, 它其实求的是 \([1,n]\) 种有多少个数有奇数 种 质因数。
对于 \(5e7\) 的范围，线性筛写好看点是能很快跑出来的。只是 \(\log\log n\) 有点卡而已，甚至把它常数卡一卡也就过了。
考虑 \(> \sqrt{n}\) 的那些质因数，只会出现一种, 且次数为 \(1\)。可以从筛好的质数种枚举，设它为 \(p\)。那剩下的部分就 \(\le n/p\)，要求由偶数种质因数构成 （注意到我们先选了一个，所以剩下那些就是偶数个）。这个可以预处理出来，设 \(g(n,0/1)\) 表示由偶数/奇数个质因数构成的方案数，可以用原题筛出来的那个东西求前缀和轻松得到。
然后就解决了包含一个 \(> sqrt{n}\) 的质因数的情况，复杂度 \(O(n)\)。接下来考虑那些 \(\le sqrt{n}\) 的质因数。
我们发现它们很少，由这些小质因子构成的数，也在 \(0.75n\) 左右。于是我们考虑用 DFS，就可以精确枚举到所有剩下的数，略小于 \(n\)。这个DFS写出来可以发现，它显然是O(答案)的，于是它是 \(O(n)\) 的，且常数小。
然后就可以卡过 \(5e7\) 了。
据说剩下10pts是留给出题人切的，\(n\le 10^{13}\)。目测需要min-25，或者是powerful number等神秘筛法来做。
D
根本不会。再见~
总结
A题看错题意，分数-100
B题没看清范围，1e50用的long long，分数-50
C,D算是正常发挥了。
暴露的一个问题是，做题过于求快，而不稳，导致题意读错了。也许是受 CF/AT 比赛的影响，也有我个人的原因。
对于NOIP/CSP赛制的比赛，考场策略与节奏还需要不断摸索和练习。
